📚 Exercise 14F: Trigonometric Equations | 习题14F：三角方程
Exercise 14F is typically found in the IB Mathematics SL/HL textbook and focuses on solving trigonometric equations. In this section, you will learn how to find unknown angles that satisfy equations involving sine, cosine, and tangent, both in degrees and radians, and within specified intervals. Mastering these techniques is essential for modelling periodic phenomena and for success in the IB analysis paper.
习题14F通常出现在IB数学SL/HL教材中，重点在于求解三角方程。在这一部分，你将学会如何找出满足含有正弦、余弦和正切的方程的未知角，单位包括角度和弧度，并在指定区间内求解。掌握这些技巧对于周期性现象的建模以及IB分析卷的成功至关重要。
1. Understanding Trigonometric Equations | 理解三角方程
14F is to find all solutions within a given domain, typically 0 ≤ x ≤ 2π or 0° ≤ x ≤ 360°.
三角方程是含有未知角的一个或多个三角比的方程。与标准代数方程不同，由于三角函数具有周期性，这类方程通常有无穷多个解。习题14F的目标是在给定域内求出所有解，通常是0 ≤ x ≤ 2π或0° ≤ x ≤ 360°。
2. Solving Basic Sine Equations | 求解基本正弦方程
If the equation is sin x = sin θ, then the solutions are x = θ + 2πn or x = π − θ + 2πn, n ∈ ℤ.
考虑方程 sin x = k，其中 −1 ≤ k ≤ 1。主解为 x = arcsin(k)。在[0,2π)中的第二个解为 π − arcsin(k)。若方程为 sin x = sin θ，则解为 x = θ + 2πn 或 x = π − θ + 2πn，n ∈ ℤ。
3. Solving Cosine and Tangent Equations | 求解余弦和正切方程
πn. For tan x = k, the period is π, so the solutions repeat every π: x = arctan(k) + πn, n ∈ ℤ.
对于 cos x = k，在[0,2π)中的两个解为 arccos(k) 和 2π − arccos(k)。一般公式为 x = ±arccos(k) + 2πn。对于 tan x = k，周期为 π，因此解每 π 重复：x = arctan(k) + πn，n ∈ ℤ。
4. Using the Unit Circle and CAST Diagram | 使用单位圆和CAST图
The CAST diagram helps determine the signs of trigonometric functions in each quadrant. In Quadrant I (All positive), Quadrant II (Sin positive), Quadrant III (Tan positive), Quadrant IV (Cos positive). To solve equations, first locate the reference angle, then use the diagram to find all quadrants where the required sign holds.
CAST图有助于确定每个象限中三角函数的符号。在第一象限（全正）、第二象限（正弦正）、第三象限（正切正）、第四象限（余弦正）。解方程时，首先找到参考角，然后利用该图找出所需符号成立的所有象限。
5. General Solution Formulas | 一般解公式
In IB examinations, you are expected to give the general solutions using the following formulas:
sin x = sin θ ⇒ x = n⋅180° + (−1)ⁿθ, n ∈ ℤ (or x = θ + 2πn, x = π − θ + 2πn in radians)
cos x = cos θ ⇒ x = 360°n ± θ (or 2πn ± θ in radians)
tan x = tan θ ⇒ x = 180°n + θ (or πn + θ in radians)
在IB考试中，你需要使用以下公式给出一般解：
sin x = sin θ ⇒ x = n⋅180° + (−1)ⁿθ, n ∈ ℤ （或弧度下 x = θ + 2πn, x = π − θ + 2πn）
cos x = cos θ ⇒ x = 360°n ± θ （或弧度下 2πn ± θ）
tan x = tan θ ⇒ x = 180°n + θ （或 πn + θ）
6. Equations with a Multiple Angle | 含有倍角的方程
x ≤ 2π, then 0 ≤ 2x ≤ 4π, so you must list all solutions for 2x in [0,4π] before halving.
当角为倍角时，如 sin(2x) = 0.5，首先将 2x 视为单个变量。使用标准方法解出 2x，然后将所有解除以系数。注意相应调整定义域：若 0 ≤ x ≤ 2π，则 0 ≤ 2x ≤ 4π，因此必须在[0,4π]内列出 2x 的所有解，然后再除以2。
7. Quadratic Form in a Trigonometric Function | 三角二次型方程
Similarly, for equations like 3cos²θ + cos θ − 2 = 0, factor or use the quadratic formula.
形如 2sin²x − sin x − 1 = 0 的方程可通过代换求解。令 t = sin x，然后解二次方程 2t² − t − 1 = 0。求出 t 值后，再解 sin x = t。务必检查 t 是否在[−1,1]范围内。类似地，对于 3cos²θ + cos θ − 2 = 0，可用因式分解或求根公式。
8. Applying Pythagorean Identities | 应用勾股恒等式
0. Multiply by −1 to get a standard form. Always substitute identities to reduce to one trigonometric ratio.
方程中常混合不同的函数，例如 2sin²x + 3cos x = 0。将 sin²x 替换为 1 − cos²x，得到 2(1 − cos²x) + 3cos x = 0，这化简为关于 cos x 的二次方程：−2cos²x + 3cos x + 2 = 0。乘以 −1 得到标准型。总是通过代换恒等式化归为一种三角比。
9. Using Double and Half Angle Identities | 使用倍角与半角恒等式
r cos x. Alternatively, use sum-to-product formulas. Recognizing the appropriate identity is the key to simplifying the equation.
习题14F可能包含如 cos 2x + cos x = 0 的方程。利用恒等式 cos 2x = 2cos²x − 1 改写为二次型：2cos²x − 1 + cos x = 0，然后解 cos x。也可使用和差化积公式。识别合适的恒等式是化简方程的关键。
10. Equations Involving Tangent and Secant | 包含正切和正割的方程
identity sec²x = 1 + tan²x. For example: sec²x + tan x = 1 becomes (1 + tan²x) + tan x = 1 ⇒ tan²x + tan x = 0 ⇒ tan x + 1) = 0. Solve each factor separately. This technique often appears in IB problems.
当方程含有 tan x 和 sec x 时，使用恒等式 sec²x = 1 + tan²x。例如：sec²x + tan x = 1 变为 (1 + tan²x) + tan x = 1 ⇒ tan²x + tan x = 0 ⇒ tan x (tan x + 1) = 0。分别解每个因式。这一技巧在IB考题中经常出现。
11. Solving Inequalities and Graphical Methods | 求解三角不等式与图像法
s are found by solving sin x = 0.5, giving reference points for the inequality boundaries.
有时要求解如 sin x ≥ 0.5 在 0 ≤ x ≤ 2π 内的不等式。画出 y = sin x 的图像和水平线 y = 0.5；将曲线位于直线上方的区域涂上阴影，然后读出区间。通过解 sin x = 0.5 求出交点，以作为不等式边界的参考点。
12. Common Mistakes and Verification | 常见错误与验证
ields values within [−1,1]; otherwise reject. Use radian mode unless instructed otherwise.
学生常会忘记检查定义域，或在角为倍角时遗漏某些解。务必通过代回原方程来验证解。当心平方两边引进的增根。此外，在二次代换中，确保 t = sin x 的值在[−1,1]内，否则舍去。除非有特殊说明，一律使用弧度模式。
Published by TutorHao | IB Mathematics Revision Series | aleveler.com
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