📚 The family y = sin(bx) | 探究y = sin(bx)函数族
ter b alters the period and frequency while preserving the amplitude. This investigation explores how changes in b affect the graph, providing a foundation for trigonometric modelling and equation solving.
在IB数学中，函数 y = sin(bx) 是基本正弦曲线 y = sin x 的变形，参数 b 改变周期和频率，但保持振幅不变。本文探究 b 的变化如何影响函数图像，为三角函数的建模和方程求解奠定基础。
1. Introduction to the Sine Function Family | 正弦函数族简介
ntroduce a horizontal scaling factor b, which compresses or stretches the graph along the x‑axis.
母函数 y = sin x 是振幅为1、周期为2π 的周期波，且经过原点 (0,0)。函数族 y = sin(bx) 通过引入水平伸缩因子 b 而产生，该因子使图像沿 x 轴压缩或拉伸。
2. The Role of Parameter b | 参数b的作用
t x is multiplied by b before the sine function is applied. This changes the rate at which the sine function oscillates.
参数 b 控制着在长度为2π 的区间内完整周期的数目。对于 y = sin(bx)，输入 x 在进入正弦函数之前先乘以 b。这就改变了正弦函数的振荡速率。
A larger absolute value of b increases the frequency, producing more waves in a fixed domain, while a smaller absolute value decreases the frequency, spreading the wave out.
|b| 越大，频率越高，在给定区间内产生的波形越多；|b| 越小，频率越低，波形被拉长。
3. Period and Frequency | 周期与频率
in(bx) is the horizontal distance required for one full cycle. It is given by the formula:
y = sin(bx) 的周期 T 是完成一个完整周期所需的水平距离。其计算公式为：
T = 2π / |b|
Frequency f is the reciprocal of the period: f = 1/T = |b|/(2π). When b = 1, T = 2π; when b = 2, T = π; when b = 0.5, T = 4π.
频率 f 是周期的倒数：f = 1/T = |b|/(2π)。当 b = 1 时，T = 2π；当 b = 2 时，T = π；当 b = 0.5 时，T = 4π。
The table below summarises the relationship between b and period:
下表总结了 b 与周期之间的关系：
| b | Period T |
|---|---|
| 1 | 2π |
| 2 | π |
| 3 | 2π/3 |
| 0.5 | 4π |
| -1 | 2π |
| -2 | π |
4. Effect of b > 1: Horizontal Compression | b>1时的水平压缩
f y = sin x. The period shortens to 2π/b, so more cycles fit into the same interval. The x‑intercepts occur at multiples of π/b.
当 b > 1 时，y = sin(bx) 的图像是 y = sin x 的水平压缩版本。周期缩短为 2π/b，因此在相同区间内包含更多周期。x 轴截距出现在 π/b 的整数倍处。
he maximum points shift from x = π/2 to x = π/4, and the minimum points from 3π/2 to 3π/4.
对于 b = 2，图像在 0 到 2π 之间完成两个完整周期。最大值点从 x = π/2 移至 x = π/4，最小值点从 3π/2 移至 3π/4。
5. Effect of 0 < b < 1: Horizontal Stretch | 0 < b < 1时的水平拉伸
s stretched horizontally. The period expands to 2π/b (> 2π). The wave becomes wider, and fewer cycles appear in a given range.
当 0 < b < 1 时，函数 y = sin(bx) 被水平拉伸。周期扩大为 2π/b（大于2π）。波形变宽，给定范围内出现的周期数减少。
For b = 1/2, the period is 4π. This means it takes 4π on the x‑ mplete one oscillation. The peak at x = π for y = sin x is now at x = 2π for y = sin(x/2).
当 b = 1/2 时，周期为 4π。这意味着在 x 轴上需要 4π 才能完成一次振荡。y = sin x 在 x = π 处的峰值现在移到 y = sin(x/2) 的 x = 2π 处。
6. Negative b Values: Reflection and Period | 负b值：反射与周期
b is negative, we use the odd property of sine: sin(-θ) = -sin θ. Thus y = sin(bx) = sin(-|b|x) = -sin(|b|x). The graph is reflected across the x‑axis compared to y = sin(|b|x).
如果 b 为负值，我们利用正弦函数的奇函数性质：sin(-θ) = -sin θ。因此 y = sin(bx) = sin(-|b|x) = -sin(|b|x)。与 y = sin(|b|x) 相比，图像关于 x 轴反射。
However, the period remains T = 2π/|b| ards from the origin instead of upwards. The shape is a reflection of y = sin(2x) in the x‑axis.
但周期仍为 T = 2π/|b|。例如，y = sin(-2x) 的周期为 π，但从原点开始向下而不是向上。其形状是 y = sin(2x) 关于 x 轴的反射。
7. Amplitude Unchanged | 振幅不变
d the minimum is always -1. The vertical distance from the midline y = 0 remains constant.
y = sin(bx) 的一个关键特征是，无论 b 取何值，振幅恒为 1。最大值始终为 1，最小值始终为 -1。到中线 y = 0 的垂直距离保持不变。
he amplitude. In the family y = sin(bx), only the horizontal characteristics are affected.
这与 y = a sin x 之类的函数不同，后者通过 a 改变振幅。在函数族 y = sin(bx) 中，只有水平特征受到影响。
8. Graphing y = sin(bx) – Key Steps | 绘制y = sin(bx)的关键步骤
To sketch y = sin(bx), follow these steps: determine the period 2π/|b| (0,0), (T/4, 1), (T/2, 0), (3T/4, -1), (T, 0); then plot and connect with a smooth curve.
绘制 y = sin(bx) 的草图可遵循以下步骤：确定周期 2π/|b|；将周期等分为四份，定位关键点 (0,0)、(T/4,1)、(T/2,0)、(3T/4,-1)、(T,0)；然后描点并用平滑曲线连接。
If b is negative, start by plotting the reflected version or simply remember that the graph passes through the origin with a negative slope initially.
如果 b 为负值，可以先绘制反射图像，或者记住图像经过原点且初始斜率为负。
9. Special Cases: b = 0 and b = 1 | 特殊情况：b=0与b=1
0, which is not a sinusoidal wave. Normally, b ≠ 0 is assumed in trigonometric modelling.
当 b = 0 时，函数恒为 y = sin(0) = 0，退化为一条水平直线 y = 0，不再是正弦波。在三角函数的建模中通常假设 b ≠ 0。
points at familiar positions. This serves as the reference for all other transformations.
当 b = 1 时，我们回到母函数 y = sin x，周期为 2π，关键点位于熟悉的位置。这是所有其他变换的参考基准。
10. Impact on Intercepts and Critical Points | 对截距和关键点的影响
The x‑ of y = sin(bx) occur where sin(bx) = 0, i.e. bx = kπ, so x = kπ/b for any integer k. The y‑intercept is always (0,0) because sin(0) = 0.
y = sin(bx) 的 x 轴截距出现在 sin(bx) = 0 的位置，即 bx = kπ，因此 x = kπ/b，k 为任意整数。y 轴截距始终为 (0,0)，因为 sin(0) = 0。
, giving x = (π/2 + 2πk)/b. Minima occur at bx = 3π/2 + 2πk, giving x = (3π/2 + 2πk)/b. As |b| increases, the critical points move closer together.
最大值出现在 bx = π/2 + 2πk，即 x = (π/2 + 2πk)/b。最小值出现在 bx = 3π/2 + 2πk，即 x = (3π/2 + 2πk)/b。随着 |b| 增大，这些关键点靠得更近。
11. Solving Equations with y = sin(bx) | 求解y = sin(bx)的方程
2πn or bx = π - arcsin(c) + 2πn, where n is an integer. Finally, divide by b to obtain x.
要求解 sin(bx) = c，首先求出角度 θ = bx 的主解。然后利用通解公式：bx = arcsin(c) + 2πn 或 bx = π - arcsin(c) + 2πn，其中 n 为整数。最后除以 b 得到 x。
Thus x = π/12 + πn or x = 5π/12 + πn. Within the domain, x = π/12, 5π/12, 13π/12, 17π/12.
例如，求解 sin(2x) = 1/2 在 0 ≤ x ≤ 2π 内的解：2x = π/6 + 2πn 或 2x = 5π/6 + 2πn。因此 x = π/12 + πn 或 x = 5π/12 + πn。在给定区间内，解为 π/12、5π/12、13π/12、17π/12。
12. Real-World Applications | 实际应用
l many periodic phenomena where the period can be adjusted. Examples include tuning forks (higher frequency sounds have larger b), alternating currents, and seasonal temperature variations when time is scaled.
y = sin(bx) 形式的函数可以模拟许多周期可调的现象。例如音叉振动（频率越高的声音对应越大的 b）、交流电、以及时间缩放后的季节性温度变化。
angular frequency. Understanding y = sin(bx) builds intuition for these applied contexts.
在物理学中，简谐运动方程常表示为 x = A sin(ωt)，其中 ω 的作用类似于参数 b，决定角频率。理解 y = sin(bx) 有助于建立对这些应用情境的直观认识。
Published by TutorHao | Mathematics Revision Series | aleveler.com
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