📚 Graphs of Logarithmic Functions | 对数函数的图像
Logarithmic functions are a cornerstone of IB Mathematics, bridging exponential growth and decay with their inverse relationships. Mastering their graphs unlocks deeper understanding of asymptotes, transformations, and real-world models. This revision guide explores all essential features, from basic shape to exam-style applications.
对数函数是 IB 数学的基石，将指数增长和衰减与其反函数关系联系起来。掌握它们的图像可以加深对渐近线、变换和实际模型的理解。本复习指南从基本形状到考试风格的应用，涵盖所有关键特征。
1. Definition and Basic Form | 定义与基本形式
t; 0, a ≠ 1) is written as y = logₐ x. It is the inverse of the exponential function x = aʸ which a must be raised to obtain y. The natural logarithm, y = ln x, uses base e ≈ 2.718.
以 a 为底 (a > 0, a ≠ 1) 的对数函数写作 y = logₐ x。它是指数函数 x = aʸ 的反函数，意味着输入 x 是 a 需要被提升到的幂次才能得到 y。自然对数 y = ln x 使用底数 e ≈ 2.718。
itive real numbers, and its range is all real numbers. The graph only exists for x > 0.
由于反函数关系，y = logₐ x 的定义域是所有正实数，值域是所有实数。图像只存在于 x > 0 的区域。
2. The Graph of y = ln x | y = ln x 的图像
a vertical asymptote. For x > 1 the curve rises slowly, and it is always concave down.
自然对数图像经过 (1, 0) 和 (e, 1)。当 x 从右侧趋近于 0 时，ln x → −∞，使得 y 轴 (x = 0) 成为一条垂直渐近线。当 x > 1 时曲线缓慢上升，并且始终向下凹。
The slow growth of ln x is a hallmark of all logarithms with base > 1 – it eventually goes to infinity, but slower than any positive power of x.
ln x 的缓慢增长是所有底数 > 1 的对数的一个标志——它最终趋于无穷大，但比 x 的任何正幂都要慢。
3. Base a > 1: General Shape | 底数 a > 1 的一般形状
a increases, the graph becomes flatter for x > 1 because a larger base means a slower exponential inverse.
对于任何 a > 1，y = logₐ x 是严格递增的。它与 x 轴相交于 (1, 0)，并通过 (a, 1)。垂直渐近线仍然是 x = 0。随着 a 的增大，图像在 x > 1 的区域变得更平缓，因为更大的底数意味着其反函数指数增长更慢。
ring y = log₂ x and y = log₁₀ x, the base-2 graph is steeper after x = 1, since 2 < 10.
比较 y = log₂ x 和 y = log₁₀ x，以 2 为底的图像在 x > 1 后更陡峭，因为 2 < 10。
4. Base 0 < a < 1: Reflection | 底数 0 < a < 1 的反射特性
rule, logₐ x = −log₁/ₐ x, so the graph is a reflection of y = log₁/ₐ x across the x-axis.
当 0 < a < 1 时，函数 y = logₐ x 是严格递减的。它仍然穿过 (1, 0)，但 (a, 1) 落在第四象限。利用换底公式，logₐ x = −log₁/ₐ x，因此图像是 y = log₁/ₐ x 关于 x 轴的反射。
is the mirror image of y = log₂ x, approaching +∞ as x → 0⁺ and decreasing to −∞ as x → ∞.
例如，y = log₀.₅ x 是 y = log₂ x 的镜像，当 x → 0⁺ 时趋近于 +∞，当 x → ∞ 时递减至 −∞。
5. Domain and Range | 定义域与值域
The parent function y = logₐ x has domain {x | x > 0} and range ℝ e corresponding exponential output is always positive. The range is unrestricted because aʸ can take any positive value.
母函数 y = logₐ x 的定义域为 {x | x > 0}，值域为 ℝ。对数函数在 x ≤ 0 时无法计算，因为相应的指数输出始终为正数。值域没有限制，因为 aʸ 可以取任何正值。
t; h, and the vertical asymptote shifts to x = h. Vertical shifts do not alter the domain.
经过水平平移 y = logₐ (x − h) 后，定义域变为 x > h，垂直渐近线移到 x = h。垂直平移不会改变定义域。
6. Asymptotic Behaviour | 渐近行为
a > 1, as x → 0⁺, y → −∞; for 0 < a < 1, y → +∞. There is no horizontal asymptote – function grows without bound (a > 1) or falls indefinitely (0 < a < 1) as x → ∞.
直线 x = 0 是基本对数图像唯一的渐近线。对于 a > 1，当 x → 0⁺ 时 y → −∞；对于 0 < a < 1，y → +∞。没有水平渐近线——当 x → ∞ 时，函数或无限增长 (a > 1) 或无限下降 (0 < a < 1)。
This behaviour helps when solving inequalities: the graph approaches the asymptote but never touches it, so boundary values must be carefully checked.
这一行为有助于解不等式：图像趋近于渐近线但永远不会触及，因此边界值必须仔细检查。
7. Key Points and Intercepts | 关键点与截距
ference coordinates are (a, 1) and (1/a, −1). For y = ln x these are (e, 1) and (1/e, −1).
每个 y = logₐ x 的图像都有一个 x 截距 (1, 0)，因为 logₐ 1 = 0。没有 y 截距。有用的参考坐标为 (a, 1) 和 (1/a, −1)。对于 y = ln x，这些点是 (e, 1) 和 (1/e, −1)。
o the applied shifts. The x-intercept after y = logₐ (x − h) + k solves logₐ (x − h) = −k.
当绘制变换图像时，根据所应用的平移来移动这些锚点。y = logₐ (x − h) + k 的 x 截距由 logₐ (x − h) = −k 解出。
8. Transformations: Vertical Shifts | 变换：垂直平移
but the x-intercept moves to where logₐ x = −k, i.e. x = a⁻ᵏ. The shape remains unchanged.
加上常数 k 得到 y = logₐ x + k，将图像垂直平移 k 个单位。渐近线 x = 0 保持不变，但 x 截距移动到 logₐ x = −k 处，即 x = a⁻
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