📚 Review Set 3C: Quadratic Functions, Equations and Transformations | 复习题组 3C：二次函数、方程与变换
Review Set 3C in the IB Mathematics course typically consolidates understanding of quadratic functions, equation solving, and graph transformations. These topics form the backbone of many algebra and calculus problems, appearing across both Analysis and Approaches and Applications and Interpretation syllabuses. This article unpacks the essential concepts, common pitfalls, and problem-solving strategies to help you excel in this review set.
IB 数学课程中的复习题组 3C 通常巩固对二次函数、方程求解和图像变换的理解。这些主题是许多代数和微积分问题的基础，同时出现在分析与方法以及应用与解释的教学大纲中。本文梳理了基本概念、常见陷阱和解题策略，帮助你在本复习题组中取得优异成绩。
1. Standard Form and Vertex Form | 标准形式与顶点式
x − h)² + k, which directly gives the turning point (h, k) and the axis of symmetry x = h.
二次函数可以表示为两种有用的形式。标准形式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 为常数且 a ≠ 0。系数 a 决定抛物线的开口方向和宽度：若 a > 0 则开口向上，若 a < 0 则开口向下。顶点式为 f(x) = a(x − h)² + k，能够直接给出转折点 (h, k) 和对称轴 x = h。
nd the vertex without completing the square is to compute h = −b/(2a) and then evaluate k.
要从标准形式转换为顶点式，可使用配方法。将 ax² + bx + c 写成 a(x² + (b/a)x) + c，然后在括号内加上并减去 (b/(2a))²。结果是 a(x + b/(2a))² + (c − b²/(4a))，因此 h = −b/(2a) 且 k = f(h)。不进行配方而快速求顶点的方法是计算 h = −b/(2a) 再求 k。
2. Factorisation and Finding Roots | 因式分解与求根
= −q/p and x = −s/r. For example, x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 gives x = 2 and x = 3.
求解一元二次方程 ax² + bx + c = 0 常常从因式分解开始。若表达式可写为 (px + q)(rx + s) = 0，根据零因子性质得到 px + q = 0 或 rx + s = 0，从而得出根 x = −q/p 和 x = −s/r。例如，x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0 得到根 x = 2 和 x = 3。
(a − b). When factorisation is not obvious, look for common factors first or try the grouping method. Remember that a quadratic with no real roots (Δ < 0) cannot be factorised into real linear factors.
识别特殊形式可加快分解：完全平方三项式 a² ± 2ab + b² = (a ± b)²，平方差 a² − b² = (a + b)(a − b)。当因式分解不明显时，可先提取公因式或尝试分组法。注意，没有实根的二次式（Δ < 0）无法分解为实系数的一次因式。
3. Quadratic Formula and the Discriminant | 二次公式与判别式
on is difficult, use the quadratic formula. The solutions of ax² + bx + c = 0 are given by
x = [−b ± √b² − 4ac] / (2a)
ated real root (a double root); if Δ < 0, no real roots and the graph does not cross the x‑ rfect square (Δ = 0) and is essential in applications such as finding intersection points.
当因式分解困难时，使用二次公式。方程 ax² + bx + c = 0 的解为
x = [−b ± √b² − 4ac] / (2a)
根号下的表达式 Δ = b² − 4ac 称为判别式。它无需解方程即可揭示根的性质：若 Δ > 0，有两个不同的实根；若 Δ = 0，有一个重复实根（二重根）；若 Δ < 0，没有实根且图像不与 x 轴相交。判别式还能判断二次式是否为完全平方（Δ = 0），在求交点等问题中至关重要。
4. Quadratic Inequalities | 二次不等式
arabola, noting the sign of a. The solution intervals are where the graph lies above the x‑ = 1 > 0, the parabola opens upward, so it is below the axis between the roots: 1 < x < 3.
求解如 ax² + bx + c > 0 的二次不等式时，先找出对应方程的实根。根据 a 的正负画出抛物线草图。解区间是图像位于 x 轴上方（对于 > 0）或下方（对于 < 0）的部分。例如，解 x² − 4x + 3 < 0 得根 x = 1 和 x = 3。由于 a = 1 > 0，抛物线开口向上，因此在两根之间图像位于 x 轴下方：1 < x < 3。
on set when the expression can equal zero. Always check whether the inequality is strict or non‑strict before writing your final answer.
符号表是另一种高效方法。在数轴上标出根，并检验每个区间内二次式的符号。对于含有 ≤ 或 ≥ 的不等式，若表达式可以等于零，则根应包含在解集中。写出最终答案前，务必确认不等号是否带等号。
5. Transformations: Translations, Stretches, and Reflections | 变换：平移、伸缩与反射
(right if h > 0, left if h < 0). Stretches: y = a f(x) gives a vertical stretch by factor |a| (compression if 0 < |a| < 1); y = f(bx) gives a horizontal stretch by factor 1/b (compression if |b| > 1). Reflections: y = −f(x) reflects in the x‑axis; y = f(−x) reflects in the y‑axis.
图像变换修改基本二次函数 y = x²。平移：y = f(x) + k 竖直平移 k 个单位；y = f(x − h) 水平平移 h 个单位（h > 0 右移，h < 0 左移）。伸缩：y = a f(x) 产生因子的 |a| 竖直伸缩（0 < |a| < 1 时为压缩）；y = f(bx) 产生因子的 1/b 水平伸缩（|b| > 1 时为压缩）。反射：y = −f(x) 关于 x 轴反射；y = f(−x) 关于 y 轴反射。
, you can describe the transformation from y = x²: shift right by h, stretch vertically by |a| (reflect in x‑ l stretches correctly: y = (2x)² is a horizontal compression by factor 1/2, not a stretch.
组合多个变换时，始终从内向外进行：先进行水平平移和伸缩（括号内），然后是竖直伸缩和反射（函数倍乘），最后是竖直平移。对于顶点式 y = a(x − h)² + k，可以由 y = x² 描述变换：向右平移 h，竖直伸缩 |a| 倍（若 a < 0 则关于 x 轴反射），再向上平移 k。要正确描述水平伸缩：y = (2x)² 表示水平压缩为原来的 1/2，而不是拉伸。
6. Composite Functions and Inverse Functions | 复合函数与反函数
For two functions f and g, the composite function (f ∘ ) into f. The order matters: f(g(x)) is generally not the same as g(f(x)). The domain of f ∘ ich g(x) lies in the domain of f. For example, if f(x) = x² + 1 and g(x) = 2x − 3, then (f ∘ g)(x) = (2x − 3)² + 1 = 4x² − 12x + 10.
对于两个函数 f 和 g，复合函数 (f ∘ g)(x) = f(g(x)) 表示将 g(x) 代入 f。顺序非常重要：f(g(x)) 通常不同于 g(f(x))。f ∘ g 的定义域由所有满足 g(x) 属于 f 的定义域的 x 组成，且 x 本身属于 g 的定义域。例如，若 f(x) = x² + 1，g(x) = 2x − 3，则 (f ∘ g)(x) = (2x − 3)² + 1 = 4x² − 12x + 10。
n its full domain fails the horizontal line test, so we restrict the domain to make it one‑to‑ t half) or x ≤ h. For instance, f(x) = (x − 2)² + 1 with domain x ≥ 2 has inverse f⁻¹(x) = √x − 1 + 2.
反函数 f⁻¹(x) 逆反转 f 的作用。求反函数的方法：
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