📚 Investigation 2 - Reciprocal Functions | 探究2 - 倒数函数
n expression, and its analysis combines algebraic manipulation with deep graphical insight. This investigation will guide you through the core properties of y = 1/x, how to transform it, and how more complex reciprocal functions of linear and quadratic expressions behave. By the end, you will be able to sketch, interpret, and model situations using reciprocal relationships with confidence.
在IB数学中，倒数函数的学习为理解有理行为、渐近趋势以及以意想不到的方式重塑熟悉图像的变换打开了一扇大门。倒数函数本质上是对给定表达式取乘法逆元而构成的，对其的分析将代数操作与深刻的图像洞察结合在一起。本次探究将引导你了解y = 1/x的核心性质、如何变换它，以及更复杂的线性与二次表达式的倒数函数的行为。最终，你将能够自信地使用倒数关系绘制草图、进行解释并建立模型。
1. The Concept of a Reciprocal Function | 倒数函数的概念
ny function expressed as the reciprocal of another function inherits distinct features: an inability to equal zero unless g(x) is infinite, and a tendency to grow large in magnitude as g(x) approaches zero. Understanding this inverse relationship is fundamental to manipulating rational expressions in algebra and calculus.
倒数函数的形式为 f(x) = 1 / g(x)，其中 g(x) 是一个非零函数。最简单的情形是当 g(x) = x 时，得到母函数 f(x) = 1/x。从更广泛的意义上说，任何表示为另一函数倒数的函数都具有鲜明的特征：除非 g(x) 无穷大，否则不能等于零；并且当 g(x) 趋近于零时，其量值会趋于很大。理解这种逆关系是代数与微积分中处理有理表达式的基础。
ivision by zero is undefined. These x-values become vertical asymptotes of f. Moreover, as |g(x)| ations shift it. This interplay between original function and its reciprocal is at the heart of the investigation.
当我们写出 f(x) = 1 / g(x) 时，必须立刻考虑 g(x) = 0 的位置，因为除以零是未定义的。这些 x 值就成为 f 的垂直渐近线。此外，随着 |g(x)| → ∞，倒数 f(x) 趋近于 0，这就在 y = 0 处引入了一条水平渐近线，除非有其他变换使之移动。原函数与其倒数之间的这种相互作用正是本次探究的核心。
2. The Parent Function f(x) = 1/x | 母函数 f(x) = 1/x
perbola consisting of two separate branches, one in the first quadrant and one in the third. For positive x, as x increases from values close to 0⁺, y falls steeply from very large positive values, gradually approaching 0. Meanwhile, for negative x, y is also negative, and the curve lies in the third quadrant. The graph never touches the x-axis or the y-axis; instead, it gets indefinitely close to them.
y = 1/x 的图像是一个等轴双曲线，由两个分离的分支组成，一个在第一象限，一个在第三象限。对于正 x，当 x 从接近 0⁺ 的值增大时，y 从很大的正值急剧下降，逐渐趋近于 0。同时，对于负 x，y 也为负，曲线位于第三象限。图像永远不会触碰 x 轴或 y 轴；相反，它会无限接近它们。
ehaviour is typical of many reciprocal functions: monotonic on intervals where g(x) does not change sign.
几个关键坐标有助于确定形状：(1,1)、(2,0.5)、(0.5,2) 以及它们的负数对应点。该函数在每个分支上是递减的，但在整个定义域上并非如此，因为在垂直渐近线 x = 0 处存在跳跃。这种行为是许多倒数函数的典型特征：在 g(x) 不变号的区间上是单调的。
3. Asymptotes, Domain and Range | 渐近线与定义域、值域
y = 0 because as x → ±∞, y → 0. Consequently, the domain is all real numbers except 0: {x ∈ ℝ | x ≠ 0}, and the range is also all real numbers except 0: {y ∈ ℝ | y ≠ 0}.
对于 f(x) = 1/x，垂直渐近线是直线 x = 0，因为当 x → 0⁺ 时，y → +∞，当 x → 0⁻ 时，y → −∞。水平渐近线是 y = 0，因为当 x → ±∞ 时，y → 0。因此，定义域为除 0 外的所有实数：{x ∈ ℝ | x ≠ 0}，值域也为除 0 外的所有实数：{y ∈ ℝ | y ≠ 0}。
unless a constant is added. This transformation concept explains why finding zeros of the denominator is always the first step in sketching reciprocal graphs.
当倒数取自更复杂的表达式，例如 f(x) = 1 / (x - p)，垂直渐近线移至 x = p。水平渐近线保持为 y = 0，除非加上一个常数。这种变换概念解释了为什么寻找分母的零点是绘制倒数图像草图的首要步骤。
4. Symmetry and Odd Function Behaviour | 对称性与奇函数行为
in. Graphically, this means it exhibits rotational symmetry of 180° about the origin. If you rotate the graph halfway around the point (0,0), the curve maps onto itself. This property is useful for confirming the shape of transformed reciprocals: a translation may break the odd symmetry, but the core shape persists.
函数 f(x) = 1/x 是一个奇函数：对于定义域内的所有 x，有 f(-x) = −f(x)。从图像上看，这意味着它关于原点呈 180° 旋转对称。如果将图像绕点 (0,0) 旋转半圈，曲线会与自身重合。这一性质有助于确认变换后倒数函数的形状：平移可能会打破奇对称性，但核心形状依然保留。
metry is about the point (3, 2) rather than the origin, demonstrating how the centre of symmetry translates with the function.
识别奇对称性也能简化计算。例如，从 f(2) = 1/2 立刻得知 f(−2) = −1/2 可以节省时间。在诸如 g(x) = 1/(x − 3) + 2 的变换中，对称中心为 (3, 2) 而非原点，这表明对称中心随函数平移而平移。
5. Transformations of Reciprocal Functions | 倒数函数的变换
ptote. The vertical asymptote moves to x = h, and the horizontal asymptote moves to y = k.
对 f(x) = 1/x 施加变换，我们能够模拟一大类曲线。一般形式为：f(x) = a / (x − h) + k。这里，h 表示水平平移，k 表示垂直平移，a 表示垂直拉伸或反射。若 a 为负，则图像关于水平渐近线反射。垂直渐近线移至 x = h，水平渐近线移至 y = k。
he branches. The combination of stretches and reflections can be understood stepwise: first stretch by a, then reflect if a < 0, then translate by (h, k). Careful attention to order ensures accurate graphs.
在绘制草图时，首先用虚线画出新的渐近线。然后标出几个关键点，例如当 x = h+1 和 x = h−1 时，以观察分支的方向。拉伸与反射的组合可以逐步理解：首先进行 a 倍拉伸，若 a < 0 则反射，然后通过 (h, k) 平移。仔细注意顺序可确保图像准确。
6. Reciprocal of Linear Functions | 一次函数的倒数
ecause the degree of the denominator (1) is greater than the degree of the numerator (0). The function has two branches, and its shape is a hyperbola that is either increasing or decreasing on each side of the asymptote, depending on the sign of a.
考虑 f(x) = 1 / (ax + b) 其中 a ≠ 0。当 x = −b/a 时分母为零，因此垂直渐近线为 x = −b/a。水平渐近线仍为 y = 0，因为分母的次数 (1) 大于分子的次数 (0)。该函数有两个分支，其形状为在渐近线两侧分别递增或递减的双曲线，具体取决于 a 的符号。
anch is in the upper half-plane near the asymptote, and the left branch in the lower half-plane. The opposite holds if a < 0. Understanding this sign analysis is essential for sketching without a calculator.
若 a > 0，当 x 从右侧趋近 −b/a 时，ax+b 是一个很小的正数，因此 f(x) → +∞。从左侧趋近时，ax+b 是一个很小的负数，故 f(x) → −∞。因此，右侧的分支在渐近线附近位于上半平面，左侧的分支位于下半平面。如果 a < 0，则情况相反。理解这种符号分析对于不使用计算器绘制草图至关重要。
7. Reciprocal of Quadratic Functions | 二次函数的倒数
s y = 0, and between the asymptotes the function often attains a local maximum or minimum.
当 g(x) 是二次函数时，f(x) = 1 / (ax² + bx + c) 可以有零条、一条或两条垂直渐近线，具体取决于判别式 Δ = b² − 4ac。如果 Δ > 0 且抛物线与 x 轴相交两次，则存在两条垂直渐近线，将图像分成三个分支。水平渐近线为 y = 0，而在两条渐近线之间，函数通常会达到一个局部最大值或最小值。
At x = 0, f(0) = -1/4. The branches outside the asymptotes approach y = 0 from above (for |x| cal has a single vertical asymptote and a shape combining features of 1/x² near the asymptote.
例如，f(x) = 1 / (x² − 4) 的渐近线位于 x = −2 和 x = 2。在 x = 0 处，f(0) = −1/4。渐近线外侧的分支从上方趋近 y = 0（因为 |x| > 2 时分母为正），而中间的分支为负且向下弯曲。当 Δ = 0 时，抛物线与 x 轴相切，因此倒数函数只有一条垂直渐近线，其形状在渐近线附近结合了 1/x² 的特征。
8. Graphs with Multiple Asymptotes and Holes | 具有多条渐近线和可去间断点的图像
/ (x + 1) for x ≠ 1, with a hole at (1, 1/2). Recognising holes is important because they represent removable discontinuities, whereas asymptotes are non-removable.
当分子与分母有公因子时，倒数函数可能会出现一个可去间断点（孔洞），而非垂直渐近线。例如，f(x) = (x − 1) / (x² − 1) 在 x ≠ 1 时可化简为 1 / (x + 1)，并在 (1, 1/2) 处存在一个孔洞。识别孔洞很重要，因为它们代表可去间断点，而渐近线则是不可去间断点。
(x² - 1), possess both a horizontal and vertical asymptotes, but also an oblique asymptote? are equal, horizontal asymptote is ratio of leading coefficients. If numerator degree is higher by one, there is an oblique asymptote. In reciprocal functions formed as 1/g(x), the degree of the numerator is 0 and denominator may be quadratic or linear; oblique asymptotes do not arise, but when we consider rational functions more generally, this classification helps.
分母次数更高的函数，诸如 f(x) = x / (x² − 1)，既有水平渐近线又有垂直渐近线，但有没有斜渐近线？实际上，如果分子的次数低于分母，水平渐近线为 y=0。若次数相等，水平渐近线为最高次项系数之比。若分子次数比分母高一次，则会出现斜渐近线。在形式为 1/g(x) 的倒数函数中，分子的次数为 0，分母可能是二次或一次；不会产生斜渐近线，但当我们更一般地考虑有理函数时，这种分类会有所帮助。
9. Solving Equations Involving Reciprocals | 解涉及倒数的方程
enominator leads to a quadratic that may produce extraneous solutions, so verification is necessary.
诸如 1 / (x − 2) = 3 的方程，可以在 x ≠ 2 的前提下两边乘以 (x − 2)。得到 1 = 3(x − 2) → x = 7/3，且成立。但是，一定要检查解是否会使任何分母为零。当方程涉及倒数之和，例如 1/x + 1/(x−1) = 2，通分后会产生一个二次方程，可能产生增根，因此验证必不可少。
al asymptote at x = 2 is excluded as a solution because the function is not defined there.
利用图像方法，方程 1/(x − 2) = 3 可看作 y = 1/(x − 2) 与 y = 3 的交点。解即交点的 x 坐标。这种可视化方法强化了渐近线的概念：x = 2 处的垂直渐近线被排除在解之外，因为函数在该点无定义。
10. Inequalities with Reciprocal Functions | 倒数函数的不等式
= 1 where the expression is undefined. Always use open intervals near vertical asymptotes.
求解诸如 1/(x − 1) > 2 的不等式需要仔细的符号分析。首先，将所有项移到一边：1/(x − 1) − 2 > 0 → [1 − 2(x − 1)] / (x − 1) > 0 → (3 − 2x) / (x − 1) > 0。然后以临界值 x = 1 和 x = 1.5 制作符号表。解区间为 (1, 1.5)，需排除 x = 1，因为该点表达式未定义。在垂直渐近线附近始终使用开区间。
quality holds where the hyperbola lies above the line. This region corresponds to x values between 1 and 1.5. Visual interpretation helps avoid algebraic mistakes, especially when multiplying through by a denominator whose sign is unknown.
另一种方法使用图像法：绘制 y = 1/(x − 1) 和 y = 2 的图像。不等式在双曲线位于直线上方的区域成立。该区域对应于 1 到 1.5 之间的 x 值。可视化解释有助于避免代数错误，尤其是在分母符号未知的情况下执行乘法时。
11. Applications in Real-World Contexts | 在现实世界情境中的应用
volume V are inversely proportional: p = k / V. These models inherently contain vertical and horizontal asymptotes that correspond to physical limits (infinite pressure as volume approaches zero).
倒数函数可模拟一个量与另一个量成反比变化的情境。例如，以速度 v 行驶固定距离 d 所需的时间 t = d/v，就是一种倒数关系。在物理学中，波义耳定律指出，对于一定量气体在恒温下，压强 p 与体积 V 成反比：p = k / V。这些模型天生包含垂直和水平渐近线，它们对应于物理极限（当体积趋近于零时压强无穷大）。
riable cost. As quantity increases, the reciprocal term diminishes, and the average cost approaches the variable cost asymptotically. Understanding such behaviour enables businesses to optimise production levels.
在经济学中，当存在固定设置成本时，每件商品的平均成本通常遵循倒数模式：平均成本 = 固定成本 / 数量 + 可变成本。随着数量增加，倒数项减小，平均成本渐近地接近可变成本。理解这种行为可使企业优化生产水平。
12. Summary and Exam Tips | 总结与应试技巧
lace branches above or below axes; and always check for holes when factors cancel. Transformations follow the standard rules: a/(x - h) + k has asymptotes x = h and y = k.
形如 1/g(x) 的倒数函数为探索有理图像、渐近线和变换提供了丰富的框架。任何探究中的关键步骤：确定 g(x) 的零点以定位垂直渐近线；通过端点行为确定水平渐近线；使用符号分析将分支置于坐标轴上方或下方；并始终在因式可约时检查孔洞。变换遵循标准规则：a/(x − h) + k 的渐近线为 x = h 和 y = k。
ions and inequalities requires careful handling of domain restrictions. With these tools, reciprocal functions become a predictable and manageable topic within the IB syllabus.
在备考时，要练习快速绘制草图，首先画出渐近线，然后标出几个关键点。记住，图像永远不会跨越垂直渐近线，并且当 x → ±∞ 时会趋近水平渐近线。解方程和不等式时需要谨慎处理定义域限制。有了这些工具，倒数函数便成为 IB 课程大纲中一个可预测且易于掌控的主题。
Published by TutorHao | Mathematics Revision Series | aleveler.com
更多咨询请联系16621398022（同微信）
或截图后用「扫一扫 → 相册」选择本图