📚 Composite Functions | 复合函数
Composite functions lie at the heart of IB Mathematics, linking multiple processes into a single operation. They appear across the syllabus, from algebra and functions to calculus and real-world modelling. Mastering composite functions will sharpen your understanding of how functions behave and interact.
复合函数是IB数学的核心内容之一，它将多个运算过程合并为一个操作。从代数、函数到微积分以及实际建模，复合函数贯穿整个课程大纲。掌握复合函数将深化你对函数行为及相互关系的理解。
1. What is a Composite Function? | 什么是复合函数？
A composite function is formed when the output of one function is used as the input for another. Given two functions f and g, the composite function f(g(x)) means: first evaluate g at x, then apply f to the result. This two-step process defines a single new function.
当一个函数的输出用作另一个函数的输入时，就得到了复合函数。给定两个函数 f 和 g，复合函数 f(g(x)) 的含义是：先对 x 计算 g，再把结果代入 f。这个两步过程定义了一个全新的函数。
matches the formula. This intuitive flow is the foundation of all composite function work.
例如，令 f(x)=2x，g(x)=x+1。则 f(g(x)) = f(x+1) = 2(x+1) = 2x+2。若从 x=4 出发，g(4)=5，f(5)=10，与公式一致。这种由内而外的流程是所有复合函数运算的基础。
2. Notation: f(g(x)) and f∘g | 符号：f(g(x)) 与 f∘g
The composite of f and g is written in two interchangeable ways: (f ∘ g)(x) or f(g(x)). The symbol '∘' is read as 'composed with' or 'circle'. The notation (f ∘ g)(x) emphasises that composition is an operation on functions themselves.
f 与 g 的复合有两种等价的写法：(f ∘ g)(x) 或 f(g(x))。符号 '∘' 读作“复合”或“圈”。(f ∘ g)(x) 这种记法强调复合是函数之间的一种运算。
Crucially, the order of composition matters. In (f ∘ g)(x), the function closest to the variable x – namely g – is applied first. A common misconception is to read left to right and apply f first. Always remember: the inside function gets priority.
关键的是复合的顺序非常重要。在 (f ∘ g)(x) 中，最靠近变量 x 的函数（即 g）先被执行。一个常见的误解是按从左到右的顺序先执行 f。请始终记住：内层函数优先。
3. Evaluating Composite Functions Numerically | 数值计算复合函数
When functions are given as tables of values rather than formulas, composite evaluation follows the same inside-out logic. Locate the inner output first, then use that as the input for the outer function.
当函数以数值表而非公式给出时，复合函数的求值同样遵循由内而外的逻辑。首先找到内层输出，再将其作为外层函数的输入。
| x | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| f(x) | 3 | 1 | 4 | 2 |
| g(x) | 2 | 4 | 1 | 3 |
3. Therefore f(g(3)) = 3. For g(f(2)), first f(2) = 1, then g(1) = 2, giving g(f(2)) = 2.
计算 f(g(3))，先找到 g(3)=1，再求 f(1)=3，因此 f(g(3))=3。计算 g(f(2))，先求 f(2)=1，再看 g(1)=2，得到 g(f(2))=2。
This tabular approach reinforces the idea that composition depends solely on the matching of outputs to permissible inputs, not on algebraic manipulation.
这种表格方法强化了一个概念：复合函数只取决于输出值与容许输入值的匹配，而非代数操作。
4. Domain of f∘g | f∘g 的定义域
he domain of a composite function is a key IB skill. A number x belongs to the domain of f ∘ g only if x is in the domain of g and g(x) is in the domain of f. In set notation: dom(f ∘ g) = { x ∈ dom(g) | g(x) ∈ dom(f) }.
确定复合函数的定义域是IB的一项关键技能。一个数 x 属于 f ∘ g 的定义域，当且仅当 x 在 g 的定义域内，并且 g(x) 属于 f 的定义域。用集合符号表示为：dom(f ∘ g) = { x ∈ dom(g) | g(x) ∈ dom(f) }。
Consider f(x) = √x (domain x ≥ 0) and g(x) = x - 2 (domain ℝ). The composite is f(g(x)) = √x - 2. For this to be defined, we require x - 2 ≥ 0, so x ≥ 2. The domain is [2, ∞).
考虑 f(x)=√x（定义域 x≥0）和 g(x)=x-2（定义域 ℝ）。复合函数为 f(g(x))=√x-2。为使该函数有意义，需要 x-2≥0，即 x≥2。因此定义域为 [2, ∞)。
If, instead, g(x) = 1/x (domain x ≠ 0) and f(x) = √x, then f(g(x)) = √1/x ∞), a subset of the natural domain you might obtain from the simplified expression alone.
如果换作 g(x)=1/x（定义域 x≠0），f(x)=√x，则 f(g(x))=√1/x。此时需要 x≠0 且 1/x≥0，这意味着 x>0。因此定义域为 (0, ∞)，这是仅靠简化表达式可能得不到的子集。
5. Constructing Composite Functions Algebraically | 代数构造复合函数
When functions are given as algebraic formulas, you can build the composite by substitution and simplification. Always check for domain restrictions that arise from the inner function and from any new restrictions in the outer function.
当函数以代数公式给出时，你可以通过代入和化简来构造复合函数。务必检查内层函数产生的定义域限制以及外层函数带来的新限制。
hat f(g(x)) and g(f(x)) are generally different, illustrating that composition is not commutative.
设 f(x)=x²+3，g(x)=2x-1。则 f(g(x)) = (2x-1)²+3 = 4x²-4x+4。反过来，g(f(x)) = 2(x²+3)-1 = 2x²+5。请注意 f(g(x)) 与 g(f(x)) 通常是不同的，这表明复合运算不可交换。
omain of g is all real numbers, but f(g(x)) requires 2x ≠ 0, so x ≠ 0. Hence the composite's domain is {x ∈ ℝ | x ≠ 0}.
再看一个需谨慎的例子，取 f(x)=1/(x-1)，g(x)=2x+1。则 f(g(x)) = 1/((2x+1)-1) = 1/(2x)。g 的定义域为全体实数，但 f(g(x)) 要求 2x≠0，即 x≠0。因此复合函数的定义域为 {x ∈ ℝ | x≠0}。
6. Decomposing Functions | 分解复合函数
al for applying the chain rule in calculus and for understanding function transformations.
分解是逆过程：给定复合函数 h(x)，找出两个函数 f 和 g，使得 h(x)=f(g(x))。这一技能对于在微积分中应用链式法则以及理解函数变换至关重要。
Another valid choice could be g(x) = x + 5/3 and f(u) = (3u)⁴, but the first is simplest.
对于 h(x)=(3x+5)⁴，一种自然的分解是 g(x)=3x+5（内层线性部分）以及 f(u)=u⁴（外层幂函数）。那么 f(g(x))=(3x+5)⁴。另一种合理的分解可以取 g(x)=x+5/3，f(u)=(3u)⁴，但前者最简洁。
(x² - 4), choose g(x) = x² - 4 and f(x) = ln x, taking into account the domain x² - 4 > 0.
在分解三角函数或对数复合函数时，始终分离最内层的运算。对于 h(x)=sin(2x²+1)，选择 g(x)=2x²+1，f(x)=sin x。对于 h(x)=ln(x²-4)，选择 g(x)=x²-4，f(x)=ln x，同时要注意定义域 x²-4>0。
7. Composite Functions and Inverse Functions | 复合函数与反函数
(f(x)) = x for all x in the domain of f, and f(f⁻¹(x)) = x for all x in the domain of f⁻¹.
函数理论中最优美的关系之一是：函数与其反函数通过复合相互抵消。如果 f⁻¹ 是 f 的反函数，那么对于 f 定义域内的所有 x，有 f⁻¹(f(x))=x，并且对于 f⁻¹ 定义域内的所有 x，有 f(f⁻¹(x))=x。
(x - 3)/2. Check: f⁻¹(f(x)) = ((2x + 3) - 3)/2 = x, and f(f⁻¹(x)) = 2((x - 3)/2) + 3 = x.
这一性质提供了一个实用的检验方法：如果你按两种顺序复合 f 和 g 都能得到恒等函数 x，那么 g 就是 f 的反函数。例如，若 f(x)=2x+3，则 f⁻¹(x)=(x-3)/2。验证：f⁻¹(f(x)) = ((2x+3)-3)/2 = x，且 f(f⁻¹(x)) = 2((x-3)/2)+3 = x。
This composition viewpoint is also why inverse functions only exist for one-to-one functions. If f is not injective, the composition f(f⁻¹(x)) may not reduce cleanly to x across the intended domain.
这种复合的观点也解释了为什么只有一一对应的函数才存在反函数。如果 f 不是单射，那么 f(f⁻¹(x)) 可能无法在预期定义域上简洁地化简为 x。
8. Graphing Composite Functions | 复合函数的图像
Understanding how composition transforms graphs deepens your function analysis skills. When you compose with a linear inner function, you often obtain translations and stretches of the outer function's graph.
理解复合如何变换图像可以加深你的函数分析能力。当你与线性内层函数复合时，通常会得到外层函数图像的平移和伸缩。
Take f(x) = |x| and g(x) = x - 4. Then f(g(x)) = |x - 4| nerally, if g(x) = x - a, then f(x - a) translates the graph of f horizontally by a units.
取 f(x)=|x| 和 g(x)=x-4，则 f(g(x))=|x-4|，这是绝对值图像向右平移 4 个单位的结果。更一般地，若 g(x)=x-a，则 f(x-a) 将 f 的图像水平平移 a 个单位。
bservations are fundamental when deducing transformed graphs without plotting every point.
对于内部的标量乘法，如 g(x)=2x，复合 f(2x) 会将图像水平压缩为原来的 1/2。如果复合为 f(g(x))=(2x)²，得到的抛物线比 y=x² 更窄。这些观察对于无需逐点绘图就可推断变换后的图像至关重要。
9. Applications of Composite Functions | 复合函数的应用
Composite functions model real-world situations where one quantity depends on another, which in turn depends on an initial variable. A classic application is converting units via a chain of functions.
复合函数可以模拟一个量依赖于另一个量、而后者又依赖于初始变量的实际情景。一个经典应用是通过函数链进行单位换算。
area of a circle is given by A(r) = πr², and the radius changes over time according to r(t
Published by TutorHao | IB Mathematics Revision Series | aleveler.com
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