📚 Inverse Functions | 反函数
In A-Level Mathematics, the concept of an inverse function is fundamental for solving equations and understanding how functions can be 'undone'. An inverse function reverses the effect of the original function, mapping each output back to the corresponding input. This article covers the conditions for the existence of an inverse, the algebraic method for finding one, and the relationship between the graphs of a function and its inverse.
在 A-Level 数学中，反函数的概念是解方程和理解函数如何被“撤销”的基础。反函数反转原函数的作用，将每个输出映射回相应的输入。本文涵盖反函数存在的条件、求反函数的代数方法，以及函数与其反函数图像之间的关系。
1. What Are Inverse Functions? | 什么是反函数？
An inverse function of a given function f(x) is a function that 'undoes' y function has an inverse; the function must be one-to-one (injective) for an inverse to exist across its entire domain.
给定函数 f(x) 的反函数是“撤销” f 所做工作的函数。如果 f 将输入 x 映射到输出 y，记作 y = f(x)，那么反函数记为 f⁻¹(x)，它将 y 映射回 x，因此 f⁻¹(y) = x。并不是每个函数都有反函数；函数必须是一一映射（单射）才能在整个定义域上存在反函数。
2. One-to-One Functions and the Horizontal Line Test | 一一映射与水平线测试
ne drawn across the graph of the function cuts the curve at most once. This is known as the horizontal line test. Functions like f(x) = x² (for all real x) fail this test because, for example, both x = 2 and x = −2 give y = 4, so the inverse would not be uniquely defined.
如果值域中的每个 y 值恰好来自定义域中的一个 x 值，则该函数是一一映射。从图形上看，这意味着任何穿过函数图像的水平线与曲线最多相交一次。这称为水平线测试。诸如 f(x) = x²（对所有实数 x）等函数未能通过该测试，因为例如 x = 2 和 x = −2 都得到 y = 4，因此其反函数将无法唯一定义。
tance, f(x) = x² with domain x ≥ 0 passes the horizontal line test and thus has an inverse f⁻¹(x) = √x.
对于在其自然定义域上不是一一映射的函数，我们可以将定义域限制到其一一映射的部分。例如，定义域为 x ≥ 0 的 f(x) = x² 通过水平线测试，因此存在反函数 f⁻¹(x) = √x。
3. Notation and Key Properties | 记号与关键性质
The inverse of a function f is written as f⁻¹(x). Do not confuse this with the reciprocal 1/f(x); the superscript −1 here denotes the inverse function, not an exponent. The domain of f becomes the range of f⁻¹, and the range of f becomes the domain of f⁻¹. Moreover, the inverse function is unique for a given one-to-one function.
函数 f 的反函数记作 f⁻¹(x)。不要将此与倒数 1/f(x) 混淆；这里的上标 −1 表示反函数，而非指数。f 的定义域成为 f⁻¹ 的值域，f 的值域成为 f⁻¹ 的定义域。此外，对于给定的一一映射函数，反函数是唯一的。
n of f. These identities are extremely useful for verifying that a candidate function is indeed the inverse.
有两个重要的恒等式成立：对于 f⁻¹ 定义域中的所有 x，f(f⁻¹(x)) = x；对于 f 定义域中的所有 x，f⁻¹(f(x)) = x。这些恒等式对于验证某个候选函数是否确实是反函数非常有用。
4. Finding Inverse Functions Algebraically | 代数方法求反函数
To find the inverse of a function algebraically, follow these steps:
要用代数方法求一个函数的反函数，请遵循以下步骤：
Write the function as y = f(x).
将函数写成 y = f(x) 的形式。
Swap x and y, giving x = f(y). This reflects the role reversal of input and output.
交换 x 和 y，得到 x = f(y)。这反映了输入与输出角色的互换。
y in terms of x. The resulting expression is the inverse function, written as y = f⁻¹(x).
用 x 表示 y 求解这个新方程。得到的表达式即为反函数，写作 y = f⁻¹(x)。
State the domain of the inverse function, which is the range of the original function.
声明反函数的定义域，即原函数的值域。
− 2y = x + 3 → y(x − 2) = x + 3 → y = (x + 3)/(x − 2), so f⁻¹(x) = (x + 3)/(x − 2), x ≠ 2.
例如，令 f(x) = (2x + 3)/(x − 1)，x ≠ 1。写出 y = (2x + 3)/(x − 1)，交换得 x = (2y + 3)/(y − 1)，然后去分母： − 1) = 2y + 3 → xy − x = 2y + 3 → xy − 2y = x + 3 → y(x − 2) = x + 3 → y = (x + 3)/(x − 2)，因此 f⁻¹(x) = (x + 3)/(x − 2)，x ≠ 2。
5. Domain and Range Swap | 定义域与值域互换
A crucial feature of inverse functions is that the domain and range are interchanged. If f has domain D and range R, then f⁻¹ has domain R and range D. This means that when finding an inverse, you must determine the range of the original function to correctly state the domain of the inverse. The range of f can often be found from its graph or by analysing the function's behaviour.
反函数的一个关键特征是定义域与值域互换。如果 f 的定义域为 D，值域为 R，那么 f⁻¹ 的定义域为 R，值域为 D。这意味着在求反函数时，你必须确定原函数的值域，才能正确给出反函数的定义域。f 的值域通常可以通过其图像或分析函数的行为得到。
For instance, if f(x) = eˣ nge is y > 0. Thus, the inverse f⁻¹(x) = ln x has domain x > 0 and range all real numbers.
例如，若 f(x) = eˣ 的定义域为所有实数，值域为 y > 0。因此，反函数 f⁻¹(x) = ln x 的定义域为 x > 0，值域为所有实数。
6. Graphing Inverse Functions | 反函数的图像
s is because swapping x and y is geometrically equivalent to a reflection in that line. So, if a point (a, b) lies on the graph of f, then (b, a) lies on the graph of f⁻¹.
反函数的图像是原函数图像关于直线 y = x 的反射。这是因为交换 x 和 y 在几何上等同于关于该直线的反射。因此，如果点 (a, b) 在 f 的图像上，那么 (b, a) 就在 f⁻¹ 的图像上。
uick check for inverse pairs. Functions that are self-inverse, such as f(x) = −x or f(x) = 1/x (x ≠ 0), have graphs that are symmetric about y = x.
在画草图时，画出直线 y = x 作为虚线参考。从 f 中取几个关键点，反射它们，然后平滑连接。关于 y = x 的对称性可以快速检验反函数对。自反函数，如 f(x) = −x 或 f(x) = 1/x（x ≠ 0），其图像关于 y = x 对称。
7. Restricting the Domain to Obtain an Inverse | 限制定义域以得到反函数
ain so that the function becomes strictly monotonic (always increasing or always decreasing). For a quadratic f(x) = ax² + bx + c, we typically take the branch either to the left or right of the vertex.
A-Level 中遇到的许多函数，如二次函数，在其自然定义域上并非一一映射。要定义反函数，我们通过限制定义域使函数变为严格单调（始终递增或始终递减）。对于二次函数 f(x) = ax² + bx + c，我们通常取顶点左侧或右侧的分支。
y ≥ 0. Its inverse is found by letting y = (x − 3)², swapping and solving: x = (y − 3)² → √x = y − 3 (taking the positive root because y ≥ 3) → y = √x + 3, so f⁻¹(x) = √x + 3 with domain x ≥ 0.
例如，f(x) = (x − 3)²，定义域为 x ≥ 3，是一一映射，值域为 y ≥ 0。其反函数的求解：令 y = (x − 3)²，交换后求解：x = (y − 3)² → √x = y − 3（取正平方根，因为 y ≥ 3）→ y = √x + 3，因此 f⁻¹(x) = √x + 3，定义域为 x ≥ 0。
Always specify the restricted domain explicitly, as it affects the inverse's form and its domain/range.
务必明确指定限制后的定义域，因为它影响反函数的形式及其定义域和值域。
8. Composite Function Identity: f(f⁻¹(x)) = x | 复合函数恒等式
entities are a direct consequence of the definition of an inverse. They can be used to verify that two functions are indeed inverses of each other.
复合函数 f(f⁻¹(x)) 总是等于 x，前提是 x 在 f⁻¹ 的定义域内。类似地，对于 f 定义域内的所有 x，有 f⁻¹(f(x)) = x。这些恒等式是反函数定义的直接结果。它们可用于验证两个函数是否确实互为反函数。
5 + 5 = x, and g(f(x)) = (2x + 5 − 5)/2 = x. Both compositions give x, so g is indeed f⁻¹.
例如，验证 f(x) = 2x + 5 与 g(x) = (x − 5)/2 互为反函数。计算 f(g(x)) = 2[(x − 5)/2] + 5 = x − 5 + 5 = x，且 g(f(x)) = (2x + 5 − 5)/2 = x。两次复合都得到 x，因此 g 确实是 f⁻¹。
9. Inverse of Exponential and Logarithmic Functions | 指数函数与对数函数的反函数
The natural exponential function f(x) = eˣ ly useful in solving equations. More generally, for a > 0 and a ≠ 1, the function f(x) = aˣ has inverse f⁻¹(x) = logₐ x.
自然指数函数 f(x) = eˣ 与自然对数函数 g(x) = ln x 互为反函数。这种关系在解方程时极为有用。更一般地，对于 a > 0 且 a ≠ 1，函数 f(x) = aˣ 的反函数为 f⁻¹(x) = logₐ x。
tial or log expression before swapping. For example, to find the inverse of f(x) = 5 + 3e²ˣ⁻¹, first let y = 5 + 3e²ˣ⁻¹, then rearrange to e²ˣ and y to obtain f⁻¹(x) = ½[1 + ln((x − 5)/3)], with domain x > 5, matching the range of f.
在求结合指数或对数的函数的反函数时，关键是先分离出指数或对数表达式，然后再进行交换。例如，求 f(x) = 5 + 3e²ˣ⁻¹ 的反函数，首先令 y = 5 + 3e²ˣ⁻¹，然后重排得 e²ˣ⁻¹ = (y − 5)/3，两边取自然对数：2x − 1 = ln((y − 5)/3)，解出 x，然后交换 x 和 y 得到 f⁻¹(x) = ½[1 + ln((x − 5)/3)]，定义域为 x > 5，恰好是 f 的值域。
10. Common Mistakes with Inverse Functions | 反函数的常见错误
Misinterpreting the notation: f⁻¹(x) is not 1/f(x). Always clarify which notation is being used in the problem.
误用记号：f⁻¹(x) 不是 1/f(x)。务必明确题目中使用的是哪种记号。
= something in terms of x, but that something is actually the inverse only after swapping.
在求代数形式时忘记交换 x 和 y。如果不交换，你只是解出了关于 x 的 y 的表达式，但该表达式只有在交换后才真正成为反函数。
Overlooking the need to state the domain of the inverse. The domain of f⁻¹ is the range of f, and this often requires checking for restrictions like denominators not being zero or arguments of logs being positive.
忽略了声明反函数的定义域。f⁻¹ 的定义域是 f 的值域，这通常需要检查诸如分母不为零或对数的真数必须为正等限制条件。
Applying the horizontal line test incorrectly or forgetting to restrict the domain when necessary. Always confirm the original function is one-to-one on the chosen restricted domain.
错误应用水平线测试或忘记在必要时限制定义域。务必确认原函数在所选限制定义域上是一一映射。
Incorrectly solving the swapped equation, especially with rational functions or when square roots are involved. Remember to consider both positive and negative square roots and choose the branch consistent with the domain restriction.
在求解交换后的方程时出错，尤其是涉及有理函数或平方根时。记得考虑正负平方根，并选择与定义域限制一致的分支。
Published by TutorHao | Mathematics Revision Series | aleveler.com
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