📚 Mastering Functions and Graphs | 掌握函数与图像
Functions and graphs form the backbone of A-Level Mathematics, linking algebraic rules to visual shapes. Understanding how to define, combine, transform, and interpret functions is essential for success across pure and applied topics. This guide walks you through the key concepts, notation, and techniques you need to master for the Edexcel syllabus.
函数与图像是 A-Level 数学的基础，它将代数规则与可视化图形联系起来。理解函数的定义、组合、变换和图像解读，对于纯数学和应用数学各部分的成功至关重要。本指南将带你梳理 Edexcel 课程大纲所需的全部核心概念、符号和技巧。
1. Definition and Notation | 定义与符号
ach element x from a set called the domain exactly one value f(x) in the codomain. We write f : x ↦ possible inputs is the domain, and the set of all outputs actually produced is the range.
一个函数 f 是一种规则，它将定义域集合中的每个元素 x 恰好对应到值域中的一个值 f(x)。我们写作 f : x ↦ f(x) 或简单地 y = f(x)。所有可能输入值的集合称为定义域，而实际产生的所有输出值的集合称为值域（或像集）。
It is crucial to understand the notation f(x), which means 'the value of the function f at x'. For example, if f(x) = x² + 3, then f(2) = 7.
理解符号 f(x) 很重要，它表示“函数 f 在 x 处的值”。例如，若 f(x) = x² + 3，则 f(2) = 7。
2. Domain and Range | 定义域与值域
restrictions include division by zero and even roots of negative numbers. For f(x) = 1/(x – 2), the denominator cannot be zero, so domain is x ∈ ℝ, x ≠ 2. For g(x) = √x + 5, we require x + 5 ≥ 0, so domain is x ≥ –5.
函数的定义域是所有使函数有意义的允许输入值（x 值）的集合。常见的限制包括分母为零以及偶次根号下为负数。对于 f(x) = 1/(x – 2)，分母不能为零，因此定义域为 x ∈ ℝ, x ≠ 2。对于 g(x) = √x + 5，要求 x + 5 ≥ 0，因此定义域为 x ≥ –5。
x², the range is f(x) ≥ 0. For f(x) = 1/x, x ≠ 0, the range is all real numbers except 0.
值域是当 x 在定义域内变化时，函数能产生的所有可能输出值 f(x) 的集合。对于二次函数 f(x) = x²，值域为 f(x) ≥ 0。对于 f(x) = 1/x，x ≠ 0，值域为除 0 外的所有实数。
3. Composite Functions | 复合函数
A composite function combines two functions by applying one function to the output of another. The notation f(g(x)) or (f ∘ g)(x) means first apply g to x, then apply f to the result. The domain of f ∘ g is the set of all x in the domain of g such that g(x) is in the domain of f.
复合函数将两个函数组合起来，将一个函数应用于另一个函数的输出。符号 f(g(x)) 或 (f ∘ g)(x) 表示先将 g 作用于 x，然后再将 f 作用于结果。f ∘ g 的定义域是 g 的定义域中使得 g(x) 属于 f 的定义域的所有 x 的集合。
e function gf(x) = g(f(x)) = (2x + 1)². Note that fg(x) and gf(x) are generally different.
例子：设 f(x) = 2x + 1，g(x) = x²。则 f(g(x)) = f(x²) = 2x² + 1。复合函数 gf(x) = g(f(x)) = (2x + 1)²。注意 fg(x) 和 gf(x) 通常是不同的。
4. Inverse Functions | 反函数
its entire domain. The graph of f⁻¹ is the reflection of the graph of f in the line y = x.
反函数 f⁻¹(x) 逆转了 f 的作用。若 f(a) = b，则 f⁻¹(b) = a。函数必须是一一映射（单射）才能在整个定义域上存在反函数。f⁻¹ 的图像是 f 的图像关于直线 y = x 的反射。
find an inverse, write y = f(x), then swap x and y and solve for y. For example, f(x) = 3x – 4, write y = 3x – 4, swap to get x = 3y – y = (x + 4)/3, so f⁻¹(x) = (x + 4)/3. The domain of f⁻¹ is the range of f and vice versa.
要求反函数，先写出 y = f(x)，然后交换 x 与 y 并解出 y。例如，f(x) = 3x – 4，写为 y = 3x – 4，交换得 x = 3y – 4，解得 y = (x + 4)/3，因此 f⁻¹(x) = (x + 4)/3。f⁻¹ 的定义域是 f 的值域，反之亦然。
5. Graphs of Common Functions | 常见函数的图像
s y = mx + c produce straight lines. Quadratic functions y = ax² + bx + c form parabolas (∪ if a > 0, ∩ -shape. Reciprocal functions y = 1/x have two branches with asymptotes at x = 0 and y = 0.
识别基本函数的形状至关重要。线性函数 y = mx + c 产生直线。二次函数 y = ax² + bx + c 形成抛物线（若 a > 0 开口向上 ∪，若 a < 0 开口向下 ∩）。三次函数 y = ax³ + bx² + cx + d 具有典型的 S 形曲线。倒数函数 y = 1/x 有两个分支，渐近线为 x = 0 和 y = 0。
Exponential functions y = aˣ passing through (1,0). Trigonometric functions y = sin x, cos x, tan x have periodic wave-like graphs, with specific ranges and asymptotes (for tan x).
指数函数 y = aˣ（a > 0, a ≠ 1）经过 (0,1) 且增长迅速。对数函数 y = logₐ(x) 是指数函数的反函数，定义于 x > 0，经过 (1,0)。三角函数 y = sin x, cos x, tan x 具有周期性的波浪状图像，各自有特定的值域和渐近线（tan x 有垂直渐近线）。
6. Transformations of Graphs | 图像的变换
. A translation by vector (a, b) means moving the graph a units horizontally and b units vertically: y = f(x – a) + b. Note the sign: f(x + a) shifts left by a, f(x – a) shifts right by a. Adding b moves up by b, subtracting b moves down.
变换使我们能够利用母函数绘制相关的图像。主要有三种类型：平移、反射和拉伸。用向量 (a, b) 平移表示将图像水平移动 a 个单位、垂直移动 b 个单位：y = f(x – a) + b。注意符号：f(x + a) 向左平移 a 个单位，f(x – a) 向右平移 a 个单位。加上 b 向上移 b
Published by TutorHao | A-Level Mathematics Revision Series | aleveler.com
更多咨询请联系16621398022（同微信）
或截图后用「扫一扫 → 相册」选择本图