📚 Solving Trigonometric Integrals: Edexcel Past Paper Q097 | 解答三角积分：Edexcel 历年真题第097题
acks a typical past-paper problem resembling Question 097 from merged exam compilations: evaluating ∫ sin³x cos²x dx. We break down the strategy, apply substitution, and highlight common pitfalls to help you master this technique.
在 Edexcel A-Level 纯数学中，三角函数的积分是核心技能，经常在试卷1中考查。本文拆解一道典型的、类似于合并真题集里第097题的题目：计算 ∫ sin³x cos²x dx。我们将详细剖析解题策略，运用换元法，并点明常见错误，帮助你彻底掌握这种方法。
1. The Problem Statement | 问题陈述
d cosine powers calls for a systematic approach using trigonometric identities to simplify the integrand.
计算不定积分 I = ∫ sin³x cos²x dx。这种正弦与余弦幂次的组合需要一套系统的方法，利用三角恒等式化简被积函数。
2. Key Trigonometric Identities | 关键三角恒等式
To handle odd powers of sine, we use the Pythagorean identity to rewrite sin²x in terms of cos²x. The essential formulas are:
为了处理正弦的奇次幂，我们利用勾股恒等式将 sin²x 用 cos²x 表示。核心公式如下：
sin²x + cos²x = 1
→ sin²x = 1 − cos²x
gle formulas are required here because the powers are suitable for a simple u = cos x substitution.
我们还用到奇次幂的拆分技巧：分离出一个正弦因子作为微分，以便进行 u-换元。这里不需要倍角公式，因为幂次恰好适合设 u = cos x 的直接换元。
3. Strategy: Identifying the Substitution | 策略：确定换元
ining sin²x into 1 − cos²x, we create a perfect setup for u = cos x, where du = −sin x dx.
注意到 cos x 的导数是 −sin x。只要提取出一次 sin x，并把剩下的 sin²x 变成 1 − cos²x，就完美契合 u = cos x 的换元，此时 du = −sin x dx。
Rewrite the integral as: I = ∫ sin x · sin²x · cos²x dx.
将积分改写为：I = ∫ sin x · sin²x · cos²x dx。
Then substitute sin²x = 1 − cos²x:
然后代入 sin²x = 1 − cos²x：
I = ∫ sin x (1 − cos²x) cos²x dx
4. Performing the Substitution | 执行换元
Let u = cos x, so du = −sin x dx ⇒ sin x dx = −du. The integral becomes:
令 u = cos x，则 du = −sin x dx ⇒ sin x dx = −du。积分化为：
I = ∫ (1 − u²) u² (−du) = −∫ (u² − u⁴) du
Rearrange to avoid a leading minus: I = ∫ (u⁴ − u²) du.
调整符号以消去前导负号：I = ∫ (u⁴ − u²) du。
5. Integrating the Polynomial | 多项式积分
Now we simply integrate term by term as a polynomial in u:
现在只需对 u 的多项式逐项积分：
∫ u⁴ du = (1/5) u⁵ + C, ∫ u² du = (1/3) u³ + C
Thus, I = (1/5) u⁵ − (1/3) u³ + C, where C is the constant of integration.
因此 I = (1/5) u⁵ − (1/3) u³ + C，其中 C 为积分常数。
6. Back-Substitution to x | 回代到 x
Replace u with cos x to express the answer in terms of the original variable:
将 u 替换为 cos x，将答案用原变量表示：
I = (1/5) cos⁵x − (1/3) cos³x + C
This is the general antiderivative. You can optionally factor out 1/15 to obtain a neater form:
这就是原函数的一般表达式。也可以提取公因子 1/15 得到更整洁的形式：
I = (1/15)(3 cos⁵x − 5 cos³x) + C
7. Verifying by Differentiation (Optional) | 求导验证（可选）
s²x sin x = sin x (cos²x − cos⁴x) = sin x cos²x (1 − cos²x) = sin x cos²x sin²x = sin³x cos²x. The match confirms the solution.
为了增强信心，可以对结果求导： )cos⁵x − (1/3)cos³x ] = −cos⁴x sin x + cos²x sin x = sin x cos²x (1 − cos²x) = sin³x cos²x。与原被积函数一致，验证了答案的正确性。
8. Handling Definite Integrals with the Same Core | 同类定积分的处理
tion or revert to x before substituting the bounds. For u = cos x: when x = 0, u = 1; when x = π/2, u = 0.
如果题目是定积分，例如从 0 到 π/2，仍然使用相同的原函数进行计算。使用换元法时，可以变换积分限，也可以先回代成 x 再代入上下限。对于 u = cos x：当 x = 0，u = 1；当 x = π/2，u = 0。
9. Common Mistakes to Avoid | 常见错误提醒
Forgetting the negative sign when substituting du = −sin x dx. Always double‐check the sign adjustment.
忽视 du = −sin x dx 中的负号。务必反复核对符号调整。
works; for an integral with an odd power of cosine, u = sin x would be the better choice.
用错换元：对于 ∫ sin³x cos²x dx，u = cos x 是合适的；如果是余弦的奇次幂，则应选择 u = sin x。
Expanding (1 − u²)u² incorrectly – keep the algebra tidy to avoid sign errors.
展开 (1 − u²)u² 时出错 – 保持代数步骤清晰，避免符号混乱。
Omitting the constant of integration in indefinite integrals, which can cost a mark.
不定积分漏写积分常数，这会被扣分。
10. Exam-Style Extensions | 考试题型拓展
ists this idea: you might see ∫ sin⁵x cos²x dx or ∫ sin x cos²x dx. The same logic applies – bstitution, e.g., sin²x = (1 − cos 2x)/2, but the odd-power method is more efficient here.
Edexcel 经常对这类思路进行变形：可能遇到 ∫ sin⁵x cos²x dx 或 ∫ sin x cos²x dx。同样的逻辑依然适用 – 分离出一个正弦（或余弦）因子，并将其余部分用勾股恒等式转换。另一种变形是结合倍角公式，比如 sin²x = (1 − cos 2x)/2，但对于奇次幂而言，拆分法更高效。
Mastering this substitution technique will also help with integrals involving sec x and tan x, where the derivative relationships are similar. Practice mixed problems to build fluency.
掌握这种换元技巧也会帮助处理涉及 sec x 和 tan x 的积分，因为它们的导数关系非常类似。多做混合练习，提升熟练度。
11. Summary of the Method | 方法小结
| Step | Action | 步骤 |
| 1 | Split one sin x factor | 分离出一个 sin x 因子 |
| 2 | Convert sin²x to 1 − cos²x | 将 sin²x 转换为 1 − cos²x |
| 3 | Set u = cos x, du = −sin x dx | 设 u = cos x, du = −sin x dx |
| 4 | Integrate polynomial in u | 对 u 的多项式积分 |
| 5 | Back-substitute and add +C | 回代，添加积分常数 +C |
12. Final Tips for the Exam | 考试终极建议
Always read the powers carefully. With odd powers of sine or cosine, the 'one factor for du' approach is your best friend. Write out your substitution and limits neatly to avoid sign blunders. Practice past-paper questions like Q097 to build speed and accuracy.
考试时务必仔细看清幂次。对于正弦或余弦的奇次幂，“留一个因子给 du”的方法是你最好的帮手。工整地写出换元过程和积分限，避免符号失误。多练像第097题这样的历年真题，提高速度和准确度。
Published by TutorHao | Maths Revision Series | aleveler.com
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