📚 Parametric Equations | 参数方程
In A‑Level Mathematics, introducing a third variable to express both x and y as functions of t unveils a richer description of curves than the standard Cartesian form. This approach, known as parametric equations, often simplifies the analysis of motion, tangents, and areas where y is not a single‑valued function of x.
在 A‑Level 数学中，引入第三个变量把 x 和 y 同时表示为 t 的函数，能比普通直角坐标形式更丰富地描绘曲线。这种方法称为参数方程，它常常让运动、切线以及 y 不是 x 单值函数时的面积分析变得更简单。
1. Introducing Parameters | 引入参数
sin t for 0 ≤ t < 2π. The parameter t often represents time, but it can be any independent variable.
一组参数方程定义了 x = f(t) 与 y = g(t)，其中 t 是参数。例如，圆 x² + y² = 4 可表示为 x = 2 cos t, y = 2 sin t, 0 ≤ t < 2π。参数 t 常代表时间，但也可以是任何自变量。
2. Converting to Cartesian Form | 转化为直角坐标形式
r use trigonometric identities. Given x = a sec t, y = b tan t, we can use sec² t − tan² t ≡ 1 to obtain x²/a² − y²/b² = 1, a hyperbola.
要消去参数，可以从一个方程解出 t 代入另一方程，或者运用三角恒等式。给出 x = a sec t, y = b tan t，可利用 sec² t − tan² t ≡ 1 得到 x²/a² − y²/b² = 1，即双曲线。
3. Sketching Parametric Curves | 绘制参数曲线
like t = 0, π/4, π/2) reveals the trajectory. A common example is the cycloid: x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t).
我们通过考虑给定 t 范围内 x 和 y 的取值范围、并留意 t 增大时的方向来确定曲线形状。标出特定 t 值（例如 t = 0, π/4, π/2）的关键点能揭示轨迹。常见例子是摆线：x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t)。
4. Restricted Domains and Ranges | 受限的定义域与值域
the quarter of the ellipse in the first quadrant. Always read the parameter interval carefully.
参数的定义域限制了所描述曲线的部分。若 x = 2 cos t, y = sin t 且 0 ≤ t ≤ π/2，则只得到椭圆在第一象限的四分之一段。务必仔细阅读参数区间。
5. Differentiation of Parametric Equations | 参数方程求导
The gradient dy/dx is given by (dy/dt) ÷ (dx/dt), provided dx/dt ≠ 0. This chain‑ first converting to Cartesian form. For x = t³ − t, y = t² + 1, dy/dx = (2t) / (3t² − 1).
梯度 dy/dx 由 (dy/dt) ÷ (dx/dt) 给出，前提是 dx/dt ≠ 0。这个链式法则结果让我们无需先转化为直角坐标形式就能求出切线和法线。例如 x = t³ − t, y = t² + 1，dy/dx = (2t) / (3t² − 1)。
6. Tangents and Normals | 切线与法线
he curve x = 2 sin t, y = cos 2t at t = π/4, we compute dy/dx and write the line equation.
一旦求出梯度，特定 t 值处的切线方程就利用点 (f(t₀), g(t₀))。法线梯度为 −1/(dy/dx)。对曲线 x = 2 sin t, y = cos 2t 在 t = π/4 处，我们可以算出 dy/dx 并写出直线方程。
7. Second Derivative | 二阶导数
ationary points: for the parametric curve x = t², y = ⅓t³ − t, we find d²y/dx² = (1)/(4t).
二阶导数 d²y/dx² 通过对 dy/dx 再求 x 的导数得到。利用链式法则，d²y/dx² = (d/dt [dy/dx]) ÷ (dx/dt)。这有助于判别驻点：对于参数曲线 x = t², y = ⅓t³ − t，可得 d²y/dx² = (1)/(4t)。
8. Stationary Points and their Nature | 驻点及其性质
s a minimum, negative a maximum. Watch for vertical tangents when dx/dt = 0 but dy/dt ≠ 0.
驻点发生在 dy/dx = 0 处，即 dy/dt = 0 而 dx/dt ≠ 0。为了判断性质，将相应的 t 代入 d²y/dx²：正值为极小值，负值为极大值。注意当 dx/dt = 0 而 dy/dt ≠ 0 时会出现竖直切线。
9. Integration with Parametric Curves | 参数曲线积分
a cos³ t, y = a sin³ t (an astroid), the area in the first quadrant integrates from t = 0 to π/2.
参数曲线下在两个参数 t₁ 与 t₂ 之间围成的面积由 ∫ y (dx/dt) dt 给出。该公式免去了将 y 表示为 x 函数的麻烦。对于 x = a cos³ t, y = a sin³ t（星形线），第一象限的面积从 t = 0 到 π/2 积分。
10. Arc Length (Edexcel Specification Extension) | 弧长（Edexcel 考纲拓展）
The length of a parametric curve for t ∈ ] dt. This is derived from Pythagoras applied to infinitesimal segments. While not always tested in the core paper, it deepens understanding of the parameter increment.
参数曲线在 t ∈ [α, β] 上的弧长为 s = ∫ₐᵝ √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] dt。它由对无穷小段应用勾股定理推导而来。虽然核心卷不常考，但它加深了对参数增量的理解。
11. Modelling Motion with Parametrics | 用参数方程建立运动模型
ime, then x(t) and y(t) give horizontal and vertical position. The velocity components are ẋ = dx/dt and ẏ = dy/dt, and speed is √ẋ² + ẏ². Projectile trajectories are naturally expressed as x = u cos θ t, y = u sin θ t − ½gt².
若 t 代表时间，则 x(t) 与 y(t) 给出水平和竖直位置。速度分量为 ẋ = dx/dt 与 ẏ = dy/dt，速率为 √ẋ² + ẏ²。抛体轨迹自然表示为 x = u cos θ t, y = u sin θ t − ½gt²。
12. Common Pitfalls and Tips | 常见陷阱与技巧
Always check for the domain of t before sketching. When eliminating parameters, avoid squaring prematurely if it introduces extraneous parts. For integration, ensure the order of limits matches the direction of t. Practice drawing arrows on curves to indicate increasing t.
在绘图前务必检查 t 的定义域。消参数时，避免过早平方以免引入多余部分。积分时，要确保积分限的顺序与 t 的方向一致。练习在曲线上画箭头表示 t 增大的方向。
Published by TutorHao | Edexcel A‑Level Mathematics Revision Series | aleveler.com
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