📚 Review Exercise 2: Mixed Pure Mathematics Topics | 复习练习2：纯数学综合主题
This review exercise consolidates the core pure mathematics skills required for the Edexcel A‑Level course. Each section recalls a key topic, presents a typical exam‑style problem and unpacks the solution step by step. Working through these mixed questions will sharpen your algebraic manipulation, graphical understanding and problem‑solving routine.
本复习练习整合了 Edexcel A‑Level 纯数学的核心技能。每个小节回顾一个重要主题，展示典型考题并逐步拆解答案。完成这些混合型问题有助于提高代数运算、图像理解以及解题的熟练度。
1. Completing the Square and Quadratic Formula | 配方法与二次公式
m a(x + p)² + q, which reveals the vertex of the parabola. The quadratic formula x = (−b ± √b² − 4ac) / 2a gives the roots directly.
二次式总可以写成 a(x + p)² + q 的形式，这样能直接看出抛物线的顶点。二次公式 x = (−b ± √b² − 4ac) / 2a 可以直接求出根。
Write 2x² − 12x + 7 in completed‑square form and hence find the minimum value of the expression.
将 2x² − 12x + 7 写成配方的形式，并由此求出该式的最小值。
Factor out 2 from the x‑ + 9) − 9] + 7 = 2(x − 3)² − 18 + 7 = 2(x − 3)² − 11. The minimum value is −11 when x = 3.
把 x 项的系数 2 提出来：2(x² − 6x) + 7。−6 的一半是 −3，平方得 9，在括号内加减 9：2[(x² − 6x + 9) − 9] + 7 = 2(x − 3)² − 18 + 7 = 2(x − 3)² − 11。最小值是 −11，此时 x = 3。
x = [ −b ± √b² − 4ac ] ÷ 2a
2. Discriminant and Number of Roots | 判别式与根的个数
es two distinct real roots, Δ = 0 gives one repeated real root, Δ < 0 gives no real roots.
判别式 Δ = b² − 4ac 决定了方程 ax² + bx + c = 0 的根的性质：Δ > 0 有两个不等实根，Δ = 0 有一个重根，Δ < 0 没有实根。
t of values of k for which the equation x² + (k − 2)x + 9 = 0 has two distinct real roots.
求使方程 x² + (k − 2)x + 9 = 0 有两个不等实根的 k 的取值范围。
t Δ = (k − 2)² − 36. For two distinct real roots, Δ > 0: (k − 2)² > 36. Take square roots: |k − 2| > 6 ⇒ k − 2 < −6 or k − 2 > 6 ⇒ k < −4 or k > 8.
这里 a = 1, b = k − 2, c = 9。判别式 Δ = (k − 2)² − 36。要有两个不等实根，Δ > 0：(k − 2)² > 36。开平方得 |k − 2| > 6，因此 k − 2 < −6 或 k − 2 > 6，即 k < −4 或 k > 8。
Always remember to write the final answer as a union of intervals: k < −4 ∪ k > 8.
最终答案要写成区间并集的形式：k < −4 或 k > 8。
3. Functions, Domain and Range | 函数、定义域与值域
A function maps every input from its domain to exactly one output. For f(x) = 3 + 2√x − 1, the domain requires x − 1 ≥ 0, so x ≥ 1. The range builds from √x − 1 ≥ 0, giving f(x) ≥ 3.
函数将定义域内的每一个输入映射到唯一的输出。对于 f(x) = 3 + 2√x − 1，定义域要求 x − 1 ≥ 0，即 x ≥ 1。值域从 √x − 1 ≥ 0 得出，于是 f(x) ≥ 3。
Given f(x) = 1 / (2x − 5), state the domain and find the inverse function f⁻¹(x).
已知 f(x) = 1 / (2x − 5)，写出定义域并求反函数 f⁻¹(x)。
Denominator cannot be 0: 2x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2.5. Let y = 1/(2x − 5), swap x and y: x = 1/(2y − 5). Solve: 2y − 5 = 1/x ⇒ 2y = 5 + 1/x ⇒ y = (5x + 1)/(2x). Hence f⁻¹(x) = (5x + 1)/(2x), x ≠ 0.
分母不能为零：2x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2.5。令 y = 1/(2x − 5)，交换 x 和 y：x = 1/(2y − 5)。求解：2y − 5 = 1/x ⇒ 2y = 5 + 1/x ⇒ y = (5x + 1)/(2x)。因此 f⁻¹(x) = (5x + 1)/(2x)，x ≠ 0。
4. Solving Quadratic Inequalities | 解二次不等式
To solve ax² + bx + c > 0, first find the critical values where the quadratic equals 0. Then sketch the graph shape or use a sign table to determine the intervals where the inequality holds.
解 ax² + bx + c > 0 时，先求出二次式为零的临界值。然后画出草图或使用符号表来确定使不等式成立的区间。
Solve 3x² ≤ 2x + 5.
解不等式 3x² ≤ 2x + 5。
coefficient of x²) opens upwards, so it is ≤ 0 between the roots. Solution: −1 ≤ x ≤ 5/3.
移项：3x² − 2x − 5 ≤ 0。因式分解：(3x − 5)(x + 1) ≤ 0。临界值：x = −1 和 x = 5/3。由于 x² 系数为正，抛物线开口向上，因此在两根之间不等式成立。解为 −1 ≤ x ≤ 5/3。
Use a number line when you need to check combined inequalities – it helps avoid sign errors.
当需要检验组合不等式时，使用数轴可以避免符号错误。
5. Simultaneous Equations, One Linear and One Quadratic | 一次与二次联立方程组
A common structured question: substitute the linear equation into the quadratic to form a single equation in one variable, then solve and back‑substitute.
常见的结构题型：将一次方程代入二次方程，得到关于一个变量的方程，求解后回代。
Solve simultaneously: y = 2x − 3 and x² + y² = 25.
解方程组：y = 2x − 3 和 x² + y² = 25。
x = −4/5, y = 2(−4/5) − 3 = −23/5; when x = 4, y = 5. Solutions: (−4/5, −23/5) and (4, 5).
代入：x² + (2x − 3)² = 25 → x² + 4x² − 12x + 9 = 25 → 5x² − 12x − 16 = 0。因式分解：(5x + 4)(x − 4) = 0 → x = −4/5 或 x = 4。对应 y 值：x = −4/5 时 y = −23/5；x = 4 时 y = 5。解为 (−4/5, −23/5) 和 (4, 5)。
6. Straight Line Coordinate Geometry | 直线坐标几何
− y₁)/(x₂ − x₁). Equation: y − y₁ = m(x − x₁). Two lines are perpendicular if m₁ m₂ = −1.
经过 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂) 的直线斜率 m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)。直线方程：y − y₁ = m(x − x₁)。若 m₁ m₂ = −1，则两直线垂直。
Line L₁ passes through A(1,2) and B(5,10). Find the equation of the line L₂ that is perpendicular to L₁ and passes through the midpoint of AB.
直线 L₁ 经过 A(1,2) 和 B(5,10)。求与 L₁ 垂直且经过 AB 中点的直线 L₂ 的方程。
dpoint of AB: ((1+5)/2, (2+10)/2) = (3,6). Equation: y − 6 = −½ (x − 3) → y = −½ x + 15/2.
L₁ 斜率：(10−2)/(5−1) = 8/4 = 2，因此 L₂ 斜率为 −1/2。AB 的中点：(3,6)。方程：y − 6 = −½ (x − 3) → y = −½ x + 15/2。
7. Equation of a Circle | 圆的方程
gives centre (a, b) and radius r. Completing the square in x and y converts an expanded equation to standard form.
标准形式 (x − a)² + (y − b)² = r² 表示圆心 (a, b) 半径 r。对 x 和 y 配方可以将展开式转换成标准式。
Find the centre and radius of the circle x² + y² − 8x + 6y = 0.
求圆 x² + y² − 8x + 6y = 0 的圆心和半径。
es: (x − 4)² − 16 + (y + 3)² − 9 = 0 → (x − 4)² + (y + 3)² = 25. Centre (4, −3), radius 5.
分组：(x² − 8x) + (y² + 6y) = 0。配方：(x − 4)² − 16 + (y + 3)² − 9 = 0 → (x − 4)² + (y + 3)² = 25。圆心 (4, −3)，半径 5。
To check if a point lies inside, on or outside the circle, substitute its coordinates into the left‑hand side and compare with r².
要判断点与圆的位置关系，将坐标代入左侧并与 r² 比较。
8. Algebraic Division and the Factor Theorem | 多项式除法与因式定理
(x − p) is a factor. Long division or synthetic division breaks down a cubic into a linear factor times a quadratic, which can then be factorised fully.
对于多项式 f(x)，若 f(p) = 0，则 (x − p) 是一个因式。长除法或综合除法可以将三次多项式分解为一个一次因式乘以二次式，进而完全因式分解。
ctor of f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 20 and express f(x) as a product of three linear factors.
证明 (x − 2) 是 f(x) = 2x³ − 3x² − 12x + 20 的因式，并将 f(x) 表示为三个一次因式的乘积。
se the quadratic: (2x + 5)(x − 2). Thus f(x) = (x − 2)(x − 2)(2x + 5) = (x − 2)² (2x + 5).
f(2) = 16 − 12 − 24 + 20 = 0，因此 (x − 2) 是因式。做除法：(2x³ − 3x² − 12x + 20) ÷ (x − 2) 得 2x² + x − 10。再分解二次式：(2x + 5)(x − 2)。所以 f(x) = (x − 2)² (2x + 5)。
9. Exponential and Logarithmic Equations | 指数与对数方程
The natural logarithm ln x is the inverse of eˣ ring unknown exponents down. Always check that solutions keep the arguments of logarithms positive.
自然对数 ln x 是 eˣ 的反函数。利用对数幂法则 ln aᵇ = b ln a 将未知指数拿下来。必须检查对数中的真数是否为正。
Solve 5ˣ⁻¹ = 3²ˣ, giving the answer in the form x = ... ln a / ln b.
解 5ˣ⁻¹ = 3²ˣ，答案写成 x = ... ln a / ln b 的形式。
ln 5 = 2x ln 3. Expand: x ln 5 − ln 5 = 2x ln 3. Collect x terms: x ln 5 − 2x ln 3 = ln 5 ⇒ x(ln 5 − 2 ln 3) = ln 5 ⇒ x = ln 5 / (ln 5 − ln 9) = ln 5 / ln(5/9).
两边取自然对数：(x−1) ln 5 = 2x ln 3。展开：x ln 5 − ln 5 = 2x ln 3。合并 x 项：x(ln 5 − 2 ln 3) = ln 5 ⇒ x = ln 5 / (ln 5 − ln 9) = ln 5 / ln(5/9)。
logₐ b = ln b / ln a
10. Trigonometric Identities and Equations | 三角恒等式与方程
The fundamental identity sin² θ + cos² θ ≡ 1 and tan θ ≡ sin θ / cos θ allow rewriting equations into a single trig function. When solving, consider all solutions within the given interval by using the CAST diagram or graphs.
基本恒等式 sin² θ + cos² θ ≡ 1 以及 tan θ ≡ sin θ / cos θ 可以把方程化成单一三角函数。求解时，通过 CAST 图或图像找出给定区间内的所有解。
Solve cos² θ − sin θ = 1 for 0° ≤ θ ≤ 360°.
解 cos² θ − sin θ = 1，区间 0° ≤ θ ≤ 360°。
θ = 1 → −sin² θ − sin θ = 0 → sin θ (sin θ + 1) = 0. So sin θ = 0 or sin θ = −1. sin θ = 0 ⇒ θ = 0°, 180°, 360°; sin θ = −1 ⇒ θ = 270°. Solutions: 0°, 180°, 270°, 360°.
用 1 − sin² θ 替换 cos² θ：(1 − sin² θ) − sin θ = 1 → −sin² θ − sin θ = 0 → sin θ (sin θ + 1) = 0。因此 sin θ = 0 或 sin θ = −1。sin θ = 0 ⇒ θ = 0°, 180°, 360°；sin θ = −1 ⇒ θ = 270°。解为 0°, 180°, 270°, 360°。
11. Differentiation from First Principles | 导数第一性原理
h. This definition underpins all rules of differentiation and occasionally appears in exam proofs.
曲线在某点的梯度由 f’(x) = limₕ→0 [f(x+h) − f(x)] / h 定义。这个定义是所有求导法则的基础，偶尔会出现在证明题中。
Differentiate f(x) = 3x² − 5 from first principles.
用第一性原理求 f(x) = 3x² − 5 的导数。
h = (3x²+6xh+3h²−3x²)/h = (6xh+3h²)/h = 6x + 3h. As h → 0, the limit is 6x, so f’(x) = 6x.
写出差商： ]/h = [3(x+h)² − 5 − (3x² − 5)]/h = [3(x²+2xh+h²) − 5 − 3x² + 5]/h = (6xh+3h²)/h = 6x + 3h。当 h → 0 时，极限为 6x，故 f’(x) = 6x。
12. Integration as the Reverse of Differentiation | 积分作为微分的逆运算
1. Use the boundary conditions to find the constant c when solving differential equations.
若 f’(x) = xⁿ，则原函数为 ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + c，其中 n ≠ −1。解微分方程时利用边界条件求出常数 c。
hrough (1, 4) and its gradient is given by dy/dx = 4x − 3. Find the equation of the curve.
一曲线经过点 (1, 4)，且其梯度为 dy/dx = 4x − 3。求曲线方程。
c. Substitute (1,4): 4 = 2(1)² − 3(1) + c → 4 = 2 − 3 + c → c = 5. Hence y = 2x² − 3x + 5.
积分：y = ∫ (4x − 3) dx = 2x² − 3x + c。代入 (1,4)：4 = 2 − 3 + c → c = 5。因此 y = 2x² − 3x + 5。
Definite integration over an interval computes the area under a curve – always subtract the lower limit value from the upper limit value.
定积分计算区间上的曲线下方面积——永远用上限值减去下限值。
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