Pre-U OCR Statistics: Quick Reference Handbook of Formulas and Theorems | Pre-U OCR 统计：公式定理速查手册

📚 Pre-U OCR Statistics: Quick Reference Handbook of Formulas and Theorems | Pre-U OCR 统计：公式定理速查手册

This revision guide provides a concise overview of the essential formulas and theorems required for the OCR Pre-U Statistics specification. It is designed for quick reference and revision, covering probability, distributions, inference, and association. Each section presents the core results in a clear, accessible format, with paired English and Chinese explanations to support bilingual learners.

本速查手册概括了 OCR Pre-U 统计课程的核心公式与定理，适用于考前快速复习。内容涵盖概率、概率分布、统计推断以及相关与回归分析。每一个主题都以清晰的中英双语对照呈现，帮助双语学习者准确掌握关键考点。

1. Probability Basics | 概率基础

The addition rule for any two events A and B is:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

对于任意两个事件 A 和 B，加法法则为：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)。若 A 与 B 互斥，则 P(A ∩ B) = 0。

Conditional probability is defined as:

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B),   P(B) > 0

条件概率定义为：P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)，其中 P(B) > 0。利用条件概率可得乘法法则：P(A ∩ B) = P(A | B)·P(B) = P(B | A)·P(A)。

Events A and B are independent if and only if:

P(A ∩ B) = P(A)·P(B)   or   P(A | B) = P(A)

事件 A 与 B 相互独立的充要条件为：P(A ∩ B) = P(A)·P(B) 或 P(A | B) = P(A)。

Bayes' theorem provides a way to reverse conditional probabilities:

P(A | B) = [P(B | A)·P(A)] / P(B)

贝叶斯定理可用来由 P(B | A) 求 P(A | B)：P(A | B) = [P(B | A)·P(A)] / P(B)。

---

2. Expectation and Variance | 期望与方差

For a discrete random variable X with possible values xᵢ and probabilities pᵢ:

E(X) = μ = Σ xᵢ pᵢ

对于离散随机变量 X，其期望值（均值）为 E(X) = μ = Σ xᵢ pᵢ。

The variance and standard deviation are:

Var(X) = σ² = E[(X − μ)²] = Σ (xᵢ − μ)² pᵢ = E(X²) − [E(X)]²

方差与标准差：Var(X) = σ² = E[(X − μ)²] = Σ (xᵢ − μ)² pᵢ。常用计算式：Var(X) = E(X²) − [E(X)]²。

For any constants a and b:

E(aX + b) = aE(X) + b,   Var(aX + b) = a² Var(X)

对于常数 a 与 b，E(aX + b) = aE(X) + b，且 Var(aX + b) = a² Var(X)。

The covariance between two random variables X and Y is:

Cov(X, Y) = E[(X − μₓ)(Y − μᵧ)] = E(XY) − μₓ μᵧ

随机变量 X 与 Y 的协方差为 Cov(X, Y) = E[(X − μₓ)(Y − μᵧ)] = E(XY) − μₓ μᵧ。若 X、Y 独立，则 Cov(X, Y) = 0。

---

3. Discrete Distributions: Binomial | 离散分布：二项分布

A binomial distribution models the number of successes in n independent trials, each with success probability p. Notation: X ~ B(n, p).

二项分布用于描述 n 次独立试验中成功的次数，每次成功概率为 p，记作 X ~ B(n, p)。

Probability mass function:

P(X = r) = ⁿCᵨ pʳ (1 − p)ⁿ⁻ʳ,   r = 0, 1, …, n

概率质量函数：P(X = r) = ⁿCᵨ pʳ (1 − p)ⁿ⁻ʳ，其中 ⁿCᵨ = n! / [r!(n − r)!]。

Mean and variance:

E(X) = np,   Var(X) = np(1 − p)

期望与方差：E(X) = np，Var(X) = np(1 − p)。

Conditions: fixed number of trials, independent trials, constant probability p, two outcomes per trial.

使用条件：试验次数固定，各次试验独立，每次成功概率 p 恒定，每次试验只有两种结果。

---

4. Discrete Distributions: Poisson | 离散分布：泊松分布

The Poisson distribution models the number of events occurring in a fixed interval of time or space. Notation: X ~ Po(λ), where λ is the mean rate.

泊松分布用于描述固定时间或空间内随机事件发生的次数，记作 X ~ Po(λ)，参数 λ 为平均发生率。

Probability mass function:

P(X = r) = (e⁻λ λʳ) / r!,   r = 0, 1, 2, …

概率质量函数：P(X = r) = e⁻λ λʳ / r!。

Mean and variance:

E(X) = λ,   Var(X) = λ

期望与方差：E(X) = λ，Var(X) = λ。

with np = λ, B(n, p) can be approximated by Po(λ). Usually valid when n is large, p < 0.1.

近似条件：当 n 很大、p 很小且 np = λ 时，可用 Po(λ) 近似二项分布 B(n, p)，通常需 n 大、p < 0.1。

---

5. Continuous Distributions: Normal | 连续分布：正态分布

The normal distribution is defined by parameters μ (mean) and σ² (variance). Notation: X ~ N(μ, σ²).

正态分布由均值 μ 和方差 σ² 决定，记作 X ~ N(μ, σ²)。

Probability density function:

f(x) = [1 / (σ√2π)] × e^{−½[(x − μ)/σ]²},   −∞ < x < ∞

概率密度函数为：f(x) = [1 / (σ√2π)] × e^{−½[(x − μ)/σ]²}，定义在整个实数域。

Standardisation: Z = (X − μ) / σ ~ N(0, 1). The standard normal distribution has mean 0, variance 1.

标准化：令 Z = (X − μ) / σ，则 Z ~ N(0, 1)，称为标准正态分布。

Key probabilities: about 68% of data within μ ± σ, about 95% within μ ± 2σ, about 99.7% within μ ± 3σ.

重要概率：大约 68% 的数据落在 μ ± σ 内，约 95% 落在 μ ± 2σ 内，约 99.7% 落在 μ ± 3σ 内。

Normal approximation to binomial: For n large, X ~ proximately N(np, np(1 − p)), provided np ≥ 5 and n(1 − p) ≥ 5. Use continuity correction.

二项分布的正态近似：当 n 很大且满足 np ≥ 5 和 n(1 − p) ≥ 5 时，X ~ B(n, p) 近似服从 N(np, np(1 − p))；需使用连续性校正。

---

6. Sampling Distributions | 抽样分布

The sample mean X̅ from a population with mean μ and variance σ² has sampling distribution:

E(X̅) = μ,   Var(X̅) = σ² / n,   SE = σ / √n

从均值为 μ、方差为 σ² 的总体中抽取大小为 n 的样本，样本均值 X̅ 的抽样分布满足：E(X̅) = μ，Var(X̅) = σ² / n，标准误为 σ / √n。

Central Limit Theorem: For large n (typically n ≥ 30), X̅ s of the population distribution. If the population is normal, the result holds for any n.

中心极限定理：对于大样本（通常 n ≥ 30），不论总体分布如何，X̅ 近似服从 N(μ, σ²/n)；若总体本身为正态分布，则该结论对任意 n 均成立。

For the sample proportion P̂ = X / n from a binomial population with parameters n and p:

E(P̂) = p,   Var(P̂) = p(1 − p) / n

样本比例 P̂ = X / n（来自二项总体）的抽样分布：E(P̂) = p，Var(P̂) = p(1 − p) / n。大样本下，P̂ 近似正态分布 N(p, p(1 − p)/n)。

---

广告 / Sponsored

7. Confidence Intervals | 置信区间

A 100(1 − α)% confidence interval for the population mean μ when σ is known:

X̅ ± z_α/2 × (σ / √n)

当总体标准差 σ 已知时，均值 μ 的 100(1 − α)% 置信区间为：X̅ ± z_α/2 × (σ / √n)。

When σ is unknown and the population is normal, use the t-distribution with n − 1 degrees of freedom:

X̅ ± t_{α/2, n−1} × (s / √n)

若 σ 未知且总体服从正态分布，则使用自由度为 n − 1 的 t 分布：X̅ ± t_{α/2, n−1} × (s / √n)，其中 s 为样本标准差。

For a population proportion p (large sample):

P̂ ± z_α/2 × √[P̂(1 − P̂) / n]

总体比例 p 的大样本置信区间：P̂ ± z_α/2 × √[P̂(1 − P̂) / n]。

Common z-values: z_0.05 = 1.645 (one-tailed), z_0.025 = 1.96 (two-tailed 95% CI).

常用 z 值：单侧 α = 0.05 时 z = 1.645；双侧 95% 置信区间用 z = 1.96。

---

8. Hypothesis Testing for Means | 均值假设检验

Testing for a population mean μ: H₀: μ = μ₀. Test statistic when σ known:

Z = (X̅ − μ₀) / (σ / √n)

检验总体均值 μ = μ₀：若 σ 已知，检验统计量为 Z = (X̅ − μ₀) / (σ / √n)。

When σ unknown, use the t-statistic:

t = (X̅ − μ₀) / (s / √n)   with df = n − 1

若 σ 未知，使用 t 统计量：t = (X̅ − μ₀) / (s / √n)，自由度 df = n − 1。

red t-test for two means (before/after): compute differences dᵢ and test H₀: μ_d = 0 using

t = d̅ / (s_d / √n)   with df = n − 1

配对 t 检验（适用于配对的均值比较）：计算差值 dᵢ，检验 H₀: μ_d = 0，统计量 t = d̅ / (s_d / √n)，自由度为 n − 1。

Two-sample test for independent means (assuming equal variances):

t = (X̅₁ − X̅₂) / [sₚ √1/n₁ + 1/n₂],   sₚ² = [(n₁−1)s₁² + (n₂−1)s₂²] / (n₁ + n₂ − 2)

独立双样本均值检验（假定方差相等）：t = (X̅₁ − X̅₂) / [sₚ √1/n₁ + 1/n₂]，其中合并方差 sₚ² = [(n₁−1)s₁² + (n₂−1)s₂²] / (n₁ + n₂ − 2)，自由度 n₁ + n₂ − 2。

Decision: Compare test statistic to critical value or use p-value. Reject H₀ if |statistic| > critical value or p < α.

决策准则：比较检验统计量与临界值，或采用 p 值法。若 |统计量| > 临界值 或 p < α，则拒绝原假设 H₀。

---

9. Chi-Squared Tests | 卡方检验

Chi-squared test for goodness of fit:

χ² = Σ [(Oᵢ − Eᵢ)² / Eᵢ]

卡方拟合优度检验：χ² = Σ [(Oᵢ − Eᵢ)² / Eᵢ]，其中 Oᵢ 为观测频数，Eᵢ 为期望频数。自由度 = 类别数 − 1 − 估计参数个数。

Test of independence in a contingency table (r × c):

χ² = Σ Σ [(Oᵢⱼ − Eᵢⱼ)² / Eᵢⱼ],   Eᵢⱼ = (row total × column total) / grand total

列联表独立性检验（r × c 表）：χ² = Σ Σ [(Oᵢⱼ − Eᵢⱼ)² / Eᵢⱼ]，期望频数 Eᵢⱼ = (行合计 × 列合计) / 总合计。自由度 = (r − 1)(c − 1)。

Conditions: all expected frequencies should be ≥ 5 (or no more than 20% below 5). If necessary, combine categories.

使用条件：所有期望频数应 ≥ 5，或低于 5 的比例不超过 20%；必要时可合并相邻类别。

---

10. Correlation and Regression | 相关与回归

Pearson product-moment correlation coefficient:

r = S_xy / √S_xx S_yy

皮尔逊积差相关系数：r = S_xy / √S_xx S_yy，其中 S_xx = Σ(xᵢ − x̅)²，S_yy = Σ(yᵢ − y̅)²，S_xy = Σ(xᵢ − x̅)(yᵢ − y̅)。

Spearman's rank correlation coefficient ρ:

ρ = 1 − [6 Σ dᵢ²] / [n(n² − 1)]

斯皮尔曼等级相关系数 ρ = 1 − [6 Σ dᵢ²] / [n(n² − 1)]，其中 dᵢ 为每对观测值的秩次差。

Least squares regression line y on x: y = a + bx, where

b = S_xy / S_xx,   a = y̅ − b x̅

最小二乘回归直线（y 对 x）：y = a + bx，其中斜率 b = S_xy / S_xx，截距 a = y̅ − b x̅。

sum of squares is used to estimate the error variance: s² = Σ (yᵢ − a − b xᵢ)² / (n − 2).

残差平方和用于估计误差方差：s² = Σ (yᵢ − a − b xᵢ)² / (n − 2)。

Hypothesis test for ρ = 0 (bivariate normal distribution) uses the test statistic:

t = r √n − 2 / √1 − r²   with df = n − 2

检验相关系数是否为 0（二元正态总体）可用 t 统计量：t = r √n − 2 / √1 − r²，自由度 n − 2。

---

11. Non-Parametric Tests | 非参数检验

The Wilcoxon signed-rank test (one sample or paired) may be used when the population is not normal. Compute differences dᵢ, rank |dᵢ|, and sum the ranks of positive differences (W⁺). For large n,

Z = [W⁺ − n(n+1)/4] / √[n(n+1)(2n+1) / 24]

威尔科克森符号秩检验（单样本或配对样本）适用于非正态总体。计算差值 dᵢ，对 |dᵢ| 排序，将正差值的秩求和得 W⁺。大样本下近似正态：Z = [W⁺ − n(n+1)/4] / √[n(n+1)(2n+1) / 24]。

The Mann–Whitney U test compares two independent samples. Rank all data together, sum the ranks for sample 1 (R₁). The U statistic is:

U = n₁n₂ + n₁(n₁+1)/2 − R₁

曼-惠特尼 U 检验用于比较两个独立样本。合并全部数据并排序，将样本 1 的秩和记为 R₁，U = n₁n₂ + n₁(n₁+1)/2 − R₁。较小样本下查表，大样本可使用正态近似。

These non-parametric tests replace the t‑test when normality is in doubt or data are ordinal.

当正态性假设不成立或数据为顺序变量时，可用上述非参数检验替代 t 检验。

---

Published by TutorHao | Statistics Revision Series | aleveler.com

更多咨询请联系16621398022（同微信）